Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension

Un article de wiki sillages.info.

voir circuits linéaires en régime transitoire

Evolution de l'intensité du courant

Image:RL_echelon.png

L'interrupteur est initialement ouvert (régime continu U=0 et I=0).

A t=0, on ferme l'interrupteur :

E=Ri+L\dfrac{di}{dt}

\dfrac{di}{dt}+\dfrac{i}{\tau}=\dfrac{E}{L}\quad\mathrm{avec}\quad\tau=L/R

La solution est de la forme i(t)=i^{(h)}+i^{(p)}=A\exp(-t/\tau)+\dfrac{E}{R}

i(0)=A+\dfrac{E}{R}=0 par continuité de l'intensité du courant dans la bobine.

Finalement \boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}(1-\exp(-t/\tau))}

Image:RL_echelon_i.png



Evolution de la tension aux bornes de la bobine

u=L\dfrac{di}{dt} ce qui donne

\boxed{u(t)=E\exp(-t/\tau)}

Image:RL_echelon_u.png

La bobine assure la continuité de l'intensité du courant qui la traverse mais pas celle de la tension à ses bornes.



Bilan énergétique

Multiplier E=Ri+u par i donne

Ei=Ri^2+ui

  • Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue);
  • Ri^2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
  • ui est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine.


Quand t\rightarrow\infty, un nouveau régime continu s'établit avec I=E/R donc :

  • \int_0^\infty Eidt\rightarrow\infty
  • \int_0^\infty Ri^2dt\rightarrow\infty
  • \int_0^\infty uidt=\dfrac{E^2}{R}\int_0^\infty(\exp(-t/\tau)-\exp(-2t/\tau))dt=\dfrac{E^2}{R}(\dfrac{L}{R}-\dfrac{L}{2R})=\dfrac{1}{2}LI^2



--DamienDecout 25 décembre 2007 à 10:22 (CET)