Réponse d'un circuit RLC à un échelon de tension

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voir circuits linéaires en régime transitoire

Tension aux bornes du condensateur

Image:RLC_echelon.png

Le condensateur est initialement déchargé et l'interrupteur ouvert (U=0 et I=0).

A t=0, on ferme l'interrupteur :

E=L\dfrac{di}{dt}+Ri+u

soit

\dfrac{d^2q}{dt^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{1}{LC}q=\dfrac{E}{L}

u et i vérifient la même équation.


La solution est de la forme q(t)=q^{(h)}+q^{(p)}

  • q^{(p)}=CE


Pour le régime pseudo-périodique :

Image:RLC_echelon_u.png



Bilan énergétique

Multiplier E=L\dfrac{di}{dt}+Ri+u par i donne

Ei=L\dfrac{di}{dt}i+Ri^2+C\dfrac{du}{dt}u

  • Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue);
  • L\dfrac{di}{dt}i est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine;
  • Ri^2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
  • ui est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.


Quand t\rightarrow\infty un nouveau régime continu s'établit avec U=E et I=0 donc :

  • \int_0^\infty L\dfrac{di}{dt}idt=\left[\dfrac{1}{2}Li^2\right]_0^0=0
  • \int_0^\infty C\dfrac{du}{dt}udt=\left[\dfrac{1}{2}Cu^2\right]_0^E=\dfrac{1}{2}CE^2
  • pour les deux autres intégrales, il faut expliciter u(t) et i(t) :

(Régime pseudo-périodique)

u(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t))+E

comme

i(t)=C\dfrac{du}{dt}

on a

i(t)=C\left(-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t))+\mathrm{e}^{-\alpha t}(-A\Omega\sin(\Omega t)+B\Omega\cos(\Omega t))\right)


  • continuité de la tension aux bornes du condensateur :

u(0)=A+E=0\Rightarrow A=-E

  • continuité de l'intensité du courant dans la bobine :

i(0)=C(-\alpha A+B\Omega)=0\Rightarrow B=\dfrac{-\alpha E}{\Omega}


d'où

i(t)=CE\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin(\Omega t)\left(\dfrac{\alpha^2}{\Omega}+\Omega\right)

\int_0^\infty Eidt=CE^2

donc en utilisant le bilan, la dernière intégrale vaut

\int_0^\infty Ri^2dt=\dfrac{1}{2}CE^2



--DamienDecout 25 décembre 2007 à 13:22 (CET)