Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension

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Evolution de la tension aux bornes du condensateur

Image:RC_echelon.png

Le condensateur est initialement déchargé (Régime continu U=0 et I=0).

A t=0, on ferme l'interrupteur et le condensateur se charge :

E=Ri+u=RC\dfrac{du}{dt}+u

\dfrac{du}{dt}+\dfrac{u}{\tau}=\dfrac{E}{\tau}\quad\mathrm{avec}\quad\tau=RC

La solution est de la forme u(t)=u^{(h)}+u^{(p)}=A\exp(-t/\tau)+E.

u(0)=A+E=0 par continuité de la tension aux bornes du condensateur.

Finalement \boxed{u(t)=E(1-\exp(-t/\tau))}

Image:RC_echelon_u.png



Evolution de l'intensité du courant

i=+\dfrac{dq}{dt}=C\dfrac{du}{dt} ce qui donne

\boxed{\dfrac{E}{R}\exp(-t/\tau)}

Image:RC_echelon_i.png

Le condensateur assure la continuité de la tension à ses bornes mais pas celle de l'intensité du courant.



Bilan énergétique

Multiplier E=Ri+u par i donne

Ei=Ri^2+ui

  • Ei est la puissance fournie par le générateur (E(-i) puissance reçue);
  • Ri^2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
  • ui est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.


\int_0^\infty Eidt=\dfrac{E^2}{R}\int_0^\infty\exp(-t/\tau)dt=\dfrac{E^2}{R}RC=CE^2

\int_0^\infty Ri^2dt=R\dfrac{E^2}{R^2}\int_0^\infty\exp(-2t/\tau)dt=R\dfrac{E^2}{R^2}\dfrac{RC}{2}=\dfrac{1}{2}CE^2

\int_0^\infty uidt=\dfrac{E^2}{R}\int_0^\infty(\exp(-t/\tau)-\exp(-2t/\tau))dt=\dfrac{E^2}{R}(RC-\dfrac{RC}{2})=\dfrac{1}{2}CE^2


L'énergie fournie par le générateur se répartit équitablement entre la résistance et le condensateur.



--DamienDecout 25 décembre 2007 à 09:52 (CET)