Régime libre du circuit RC

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Evolution de la tension aux bornes du condensateur

Image:RC_libre.png

Le condensateur est initialement chargé sous une tension E. En régime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert U=E et I=0 (E/R dans la résistance).

A t=0, on ouvre l'interrupteur, le condensateur se décharge dans la résistance :

u=Ri=-R\dfrac{dq}{dt}=-RC\dfrac{du}{dt}

\dfrac{du}{dt}+\dfrac{u}{\tau}=0\quad\mathrm{avec}\quad\tau=RC

La solution est de la forme u(t)=A\exp(-t/\tau)

u(0)=A=E par continuité de la tension aux bornes du condensateur.

Finalement \boxed{u(t)=E\exp(-t/\tau)}

Image:RC_libre_u.png


\left(\dfrac{du}{dt}\right)_{t=0}=-\dfrac{E}{\tau}

La tangente à l'origine d'équation -\dfrac{E}{\tau}t+E coupe l'axe des abscisses en t=\tau

D'autre part :

  • pour t=\tau, u=E\exp(-1)=0,37E
  • pour t=2\tau, u=E\exp(-2)=0,14E
  • pour t=3\tau, u=E\exp(-3)=0,05E



Evolution de l'intensité du courant

i=-\dfrac{dq}{dt}=-C\dfrac{du}{dt}, ce qui donne

\boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}\exp(-t/\tau)}

Image:RC_libre_i.png

Le condensateur assure la continuité de la tension à ses bornes mais pas celle de l'intensité du courant.



Etude énergétique

Calculons l'énergie reçue (on est bien en convention récepteur pour la résistance) et dissipée par effet Joule dans la résistance :

W=\int\mathcal{P}dt=\int uidt=\dfrac{E^2}{R}\int_0^\infty \exp(-2t/\tau)dt=\dfrac{E^2}{R}\left[\dfrac{\exp(-2t/\tau)}{-2/\tau}\right]_0^\infty

W=\dfrac{1}{2}CE^2 énergie emmagasinée dans le condensateur.



--DamienDecout 24 décembre 2007 à 16:33 (CET)