Vecteur vitesse et accélération en coordonnées cylindriques

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Soit la base cylindrique (\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_z)

Image:coord_cylindriques.png


Attention r,\ \theta,\ z,\ \vec{e}_r\ \mathrm{et}\ \vec{e}_\theta varient lorsque M se déplace et dépendent donc du temps.


Vecteur vitesse :

\vec{v}=\dfrac{d\vec{OM}}{dt}=\dot{r}\,\vec{e}_r+r\,\dfrac{d\vec{e}_r}{dt}+\dot{z}\,\vec{e}_z

\boxed{\vec{v}=\dot{r}\,\vec{e}_r+r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta+\dot{z}\,\vec{e}_z}

en polaire :

\vec{v}=\dot{r}\,\vec{e}_r+r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta


Vecteur accélération :

\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\ddot{r}\,\vec{e}_r+\dot{r}\,\dfrac{d\vec{e}_r}{dt}+ (\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\vec{e}_\theta+r\dot{\theta}\,\dfrac{d\vec{e}_\theta}{dt}+
	\ddot{z}\,\vec{e}_z

\boxed{\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\,\vec{e}_r+%
	(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\vec{e}_\theta+%
	\ddot{z}\,\vec{e}_z}


  • a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 est la composante radiale de l'accélération
  • a_\theta=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} est la composante orthoradiale
  • a_z=\ddot{z} est la composante axiale


en polaire :

\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\,\vec{e}_r+%
	(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\vec{e}_\theta


Vecteur déplacement élémentaire :

\boxed{d\vec{OM}=\vec{v}dt=dr\,\vec{e}_r+rd\theta\,\vec{e}_\theta+dz\,\vec{e}_z}



--DamienDecout 2 janvier 2008 à 07:35 (CET)