Vecteur vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes

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Soit la base cartésienne (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e_z})

Image:coord_cartesiennes.png

Lorsque M se déplace, H_x se déplace; on peut associer à H_x une vitesse :

  • vitesse moyenne :

v_{x_m}=\dfrac{\mathrm{distance}}{\mathrm{temps}}=\dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\dfrac{x(t+\Delta
	t)-x(t)}{t+\Delta t-t}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}

  • vitesse instantanée :

v_x=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}

dx=x(t+dt)-x(t)=v_xdt

est la variation élémentaire de x quand t varie de dt


Les vitesses s'expriment en m.s^{-1}


Remarque : \dfrac{dx}{dt} n'est pas seulement une écriture voulant dire je dérive la fonction x(t) par rapport au temps t, c'est bien un rapport \dfrac{x(t+dt)-x(t)}{t+dt-t}


De même v_y=\dfrac{dy}{dt} est la vitesse de Hy et v_z=\dfrac{dz}{dt} est la vitesse de I


v_x,\ v_y\ \mathrm{et}\ v_z définissent alors le vecteur vitesse :

\boxed{\vec{v}=v_x\vec{e}_x+v_y\vec{e}_y+v_z\vec{e}_z}


On utilise aussi la notation \dfrac{dx}{dt}=\dot{x} :

\boxed{\vec{v}=\dot{x}\vec{e}_x+\dot{y}\vec{e}_y+\dot{z}\vec{e}_z}


\vec{v}=\dfrac{dx}{dt}\vec{e}_x+\dfrac{dy}{dt}\vec{e}_y+\dfrac{dz}{dt}\vec{e}_z=\dfrac{d}{dt}(x\vec{e}_x)+\dfrac{d}{dt}(y\vec{e}_y)+\dfrac{d}{dt}(z\vec{e}_z)=\dfrac{d}{dt}(x\vec{e}_x+y\vec{e}_y+z\vec{e}_z)

\boxed{\vec{v}=\dfrac{d\vec{OM}}{dt}}


Encore une fois \dfrac{d\vec{OM}}{dt} est bien un rapport :

\boxed{d\vec{OM}=\vec{v}dt=dx\vec{e}_x+dy\vec{e}_y+dz\vec{e}_z}

est le vecteur déplacement élémentaire (pendant dt, H_x se déplace de dx, H_y de dy et I de dz)


On peut aussi associer à Hx une accélération :

a_x=\dfrac{dv_x}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\ddot{x} en m.s^{-2} et construire le vecteur accélération :

\boxed{\vec{a}=a_x\vec{e}_x+a_y\vec{e}_y+a_z\vec{e}_z=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z}



--DamienDecout 31 décembre 2007 à 08:09 (CET)