Variables aléatoires discrètes

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

1 Définition
2 Ensemble des valeurs prises par X
3 Loi de probabilité (ou distribution) de X
4 Fonction de répartition
5 Espérance mathématique de X
6 Variance de X
7 Ecart-type
8 Variable centrée réduite associée à X

Définition

Une variable aléatoire $X$ sur $(\Omega,\mathcal A,P)$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb R$ telle que pour tout intervalle $I$ de $\mathbb R$ on ait $X^{-1}(I)\in\mathcal A$ .

Si $\mathcal A=\mathcal P(\Omega)$ , toute application de $\Omega$ dans $\mathbb R$ convient.

Elle est discrète si l’ensemble $X(\Omega)$ est fini ou infini dénombrable.

Ensemble des valeurs prises par X

$X(\Omega)=\{x_k/k\in I\}$ où $I$ est un ensemble fini ( $I=[\![1,n]\!]$ ) ou dénombrable ( $I=\mathbb N^*$ ). On suppose $x_1<x_2<...$

Notation : $(X=x_k)=\{\omega\in\Omega/X(\omega)=x_k\}$ .

Les événements $(X=x_k)_{k\in I}$ forment un système complet d’événements.

Loi de probabilité (ou distribution) de X

$\forall{k\in I}\quad p_k=P(X=x_k)$ .

Propriété : $\sum_{k\in I}p_k=1$ (somme finie ou somme d'une série).

Fonction de répartition

$\forall{x\in\mathbb R}\quad F(x)=P([X\leq x])$

$F$ est une fonction en escalier croissante, continue à droite en tout $x$ réel et admettant pour limites : $\lim_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0\quad\mathrm{et}\quad\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=1$ .

Détermination pratique si $X(\Omega)=\{x_k/k\in I\}$ avec $x_1<x_2<...$ :

$\forall{x\in]-\infty,x_1[}\quad F(x)=0$

$\forall{x\in[x_k,x_{k+1}[}\quad F(x)=p_1+...+p_k$

Et si $I=[\![1,...,n]\!]$ , alors $\forall{x\in[x_n,+\infty[}\quad F(x)=1$

On peut retrouver la loi de la variable aléatoire $X$ à l’aide de sa fonction de répartition $F$ : $p_1=F(x_1)\quad \mathrm {et}\quad\forall{k\geq 2}\quad p_k=F(x_k)-F(x_{k-1})$

Probabilités d'événements :

$P(X\leq a)=F(a)$ .

$P(X>a)=1-F(a)$ .

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$ .

Espérance mathématique de X

$E(X)=\sum_{k\in I}x_kP(X=x_k)$ sous réserve de convergence absolue.

Dans le cas où $I$ est fini, la variable aléatoire $X$ a toujours une espérance. Mais si $I$ est infini dénombrable, elle n’a une espérance que si la série est absolument convergente.

L’espérance mathématique de $X$ est la valeur moyenne de $X$ .

La variable aléatoire $X$ est centrée si $E(X)=0$ .

Propriétés :

Théorème de transfert : si $Y=\phi(X)$ , alors $E(Y)=\sum_{k\in I}\phi(x_k)P(X=x_k)$ (sous réserve d’existence).

$E(aX+b)=aE(X)+b$ .

Linéarité : $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ .

Positivité : Si $X(\Omega)\subset\mathbb R^+$ , alors $E(X)\geq 0$

Variance de X

$V(X)=E([X-E(X)]^2)$ sous réserve d’existence.

Dans le cas où $I$ est fini, la variable aléatoire $X$ a toujours une variance. Mais si $I$ est infini dénombrable, elle n’a une variance que si $X^2$ a une espérance.