Trigonométrie

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

On pourra également consulter les fonctions trigonométriques.

Sommaire

Définitions

A tout réel \theta on associe l’unique point M du cercle trigonométrique tel que \theta soit une mesure de l’angle (\vec u, \vec{OM}). Alors :

  • \cos\theta est l’abscisse du point M.
  • \sin\theta est l’ordonnée du point M.
  • \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} et \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}

Formules de base

{\cos}^2\theta+{\sin}^2\theta=1

\dfrac{1}{{\cos}^2\theta}=1+{\tan}^2\theta

\dfrac{1}{{\sin}^2\theta}=1+{\cot}^2\theta

Lignes trigonométriques usuelles

\theta 0 \pi/6 \pi/4 \pi/3 \pi/2
\cos\theta 1 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{1}{2} 0
\sin\theta 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 1
\tan\theta 0 \dfrac{1}{\sqrt 3} 1 \sqrt 3 -
\cot\theta - \sqrt 3 1 \dfrac{1}{\sqrt 3} 0

Symétries

  • \cos(-\theta)=\cos\theta \quad \quad \quad \quad \quad \sin(-\theta)=-\sin\theta \quad \quad \quad \quad \quad \tan(-\theta)=-\tan\theta
  • \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \quad \quad \quad \sin(\pi-\theta)=\sin\theta \quad \quad \quad \quad \quad \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta
  • \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta \quad \quad \quad \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta \quad \quad \quad \quad \tan(\pi+\theta)=\tan\theta
  • \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta \quad \quad \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta \quad \quad \quad \quad \tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta
  • \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta \quad \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta \quad \quad \quad \quad \tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\cot\theta

Formules d’addition

\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b

\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}

\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}

Formules de duplication

\cos 2a={\cos}^2a-{\sin}^2a=2{\cos}^2a-1=1-2{\sin}^2a

\sin 2a=2\sin a\cos a

\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-{\tan}^2a}

Transformation de produits en sommes (linéarisation)

  • \cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)] \quad \quad \quad \quad \cos ^2 a=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2a)
  • \sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)] \quad \quad \quad \quad {\sin ^2 a}=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2a)
  • \sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)] \quad \quad \quad \quad \quad \sin a\cos a=\dfrac{1}{2}\sin 2a

Transformation de sommes en produits

  • \cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}
  • \cos p-\cos q=-2\sin\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}
  • \sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}
  • \sin p-\sin q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}


--CatherineLaidebeure 19 juillet 2010 à 17:31 (CEST)