Systèmes d'équations linéaires

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Système de n équations linéaires à p inconnues

\left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+...+a_{1p}x_p=b_1 \\ ..................................... \\ a_{n1}x_1+...+a_{np}x_p=b_n \end{array} \right.

Les x_1,...,x_p sont les inconnues.

Les a_{ij} et les b_i sont des coefficients.

Une solution du système est un élément (x_1,...,x_p) de \mathbb R^p qui vérifie toutes les équations.

Système homogène

Le système est homogène si \forall i\quad b_i=0. Il admet au moins une solution (0,...,0).

Système de Cramer

C’est un système carré (n=p) qui admet une unique solution.

Systèmes équivalents

Deux systèmes sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.

Opérations élémentaires sur les lignes

  • Echange de deux lignes : L_i\leftrightarrow L_j.
  • Ajout d'une autre ligne : L_i\leftarrow L_i+L_j.
  • Multiplication d’une ligne par un réel \alpha\neq 0 : L_i\leftarrow\alpha L_i.

Elles transforment un système en un système équivalent.

Il en est de même pour toute transformation de la forme L_i\leftarrow\alpha L_i+\beta L_j à condition que \alpha\neq 0.

Matrice complétée du système

C’est la matrice des coefficients A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{np} \end{matrix}\begin{vmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}.

Méthode du pivot de Gauss

Objectif : A l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes, transformer le système en un système triangulaire équivalent simple à résoudre.

Etape 1 : on choisit une ligne de référence que l’on met dans L_1 (coefficient de x_1 non nul et le plus simple possible), puis on transforme toutes les lignes sauf L_1 par L_i\leftarrow\alpha L_i+\beta L_1 (avec \alpha\neq 0) pour annuler le coefficient de x_1 dans L_i.

Etapes suivantes : Ensuite, on ne change plus L_1, et on recommence le même procédé avec l’inconnue x_2 sur le système formé par L_2 ,..., L_n, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait épuisé les lignes ou les inconnues.

Si, au cours de ces transformations, on trouve une équation de la forme 0x_1 +...+0x_p =b :

  • Si b\neq 0, le système n’a pas de solution. Le processus s’arrête.
  • Si b=0, on continue le processus en supprimant la ligne.

Ensemble des solutions

On se place dans le cas où l’on n’a pas trouvé : S=\O.

Si le système final est triangulaire, les termes de la diagonale étant non nuls (pivots), le système est un système de Cramer et on obtient la solution par substitution depuis la dernière ligne jusqu’à la première. On peut aussi effectuer des transformations symétriques sur la matrice complétée pour obtenir une matrice de la forme : A=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{matrix}\begin{vmatrix} b'_1 \\ \vdots \\ b'_n \end{pmatrix}.

Si le système final comporte moins d’équations que d’inconnues, on considère certaines inconnues comme « paramètres », et on exprime les autres en fonction de celles-là. Le système a alors une infinité de solutions.


--CatherineLaidebeure 28 juillet 2010 à 20:02 (CEST)