Séries numériques

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Avant d'aborder cet article on pourra consulter l'article sur les suites numériques

Sommaire

Définition

Soit (u_n) une suite numérique. On appelle série numérique de terme général u_n, notée (\sum u_n), la suite de terme général S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k.

Sommes partielles d’une série

La somme partielle d’ordre n de la série (\sum u_n) est S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k.

Série convergente

La série (\sum u_n) est convergente si la suite (S_n) est convergente.

Sa limite est appelée somme de la série et notée : S=\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n}u_k.

La somme R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k=S-S_n est le reste d'ordre n de la série.

Série divergente

La série (\sum u_n) est divergente si elle n’est pas convergente.

Propriétés

  • Une condition nécessaire, mais pas suffisante pour que la série soit convergente est : \lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0.

Conséquence : si \lim_{n\rightarrow +\infty}u_n\neq 0, la série est divergente.

  • On ne change pas la nature d’une série en supprimant les premiers termes. Mais on change sa somme.
  • Si \lambda\in\mathbb R^*, les séries (\sum u_n) et (\sum\lambda u_n) ont même nature.
  • Si (\sum u_n) est une série convergente, les séries (\sum v_n) et (\sum[u_n+v_n]) sont de même nature.

Séries à termes positifs

  • La série à termes positifs (\sum u_n) converge si et seulement si la suite (S_n) est majorée.
  • La série à termes positifs (\sum u_n) diverge si et seulement si \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n=+\infty.
  • Si, à partir d'un certain rang, 0\leq u_n\leq v_n :
    • si la série (\sum v_n) converge, alors la série (\sum u_n) converge.
    • si la série (\sum u_n) diverge, alors la série (\sum v_n) diverge.
  • Si u_n\sim v_n, les séries à termes positifs (\sum u_n) et (\sum v_n) sont de même nature.

Convergence absolue

La série de terme général u_n est absolument convergente si la série de terme général |u_n| est convergente.

Toute série absolument convergente est convergente mais la réciproque est fausse.

Séries géométriques et leurs séries dérivées

Elles sont convergentes si et seulement si -1<x<1.

\sum_{k=0}^{+\infty}x^k=\dfrac{1}{1-x}

\sum_{k=0}^{+\infty}kx^{k-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}

\sum_{k=0}^{+\infty}k(k-1)x^{k-2}=\dfrac{2}{(1-x)^3}

Séries exponentielles

Elles sont convergentes pour tout réel x et \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}=e^x.

Séries de Riemann

La série \left(\sum\dfrac{1}{n^\alpha}\right) est convergente si et seulement si \alpha>1.


--CatherineLaidebeure 22 juillet 2010 à 09:50 (CEST)