Puissance, travail et énergie cinétique

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Sommaire

Définitions

Multiplions scalairement la deuxième loi de Newton par \vec{v} :

m\vec{a}.\vec{v}=\vec{F}.\vec{v}

\vec{a}.\vec{v}=\dfrac{dv_x}{dt}v_x+\dfrac{dv_y}{dt}v_y+\dfrac{dv_z}{dt}v_z=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_x^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_y^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_z^2}{2}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v^2}{2}\right)

donc

\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\vec{F}.\vec{v}

ou encore

d\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\vec{F}.\vec{v}dt=\vec{F}.d\vec{OM}


  • \boxed{\mathcal{P}=\vec{F}.\vec{v}}

est la puissance de la résultante des forces \vec{F} qui s'exercent sur M où \vec{v} est la vitesse de M


  • \boxed{\delta W=\vec{F}.d\vec{OM}=\vec{F}.\vec{v}dt=\mathcal{P}(t)dt}

est le travail élémentaire de la résultante des forces \vec{F} qui s'exercent sur M où d\vec{OM} est le déplacement élémentaire de M


  • Le travail W entre deux instants t_1 et t_2 s'écrit

\boxed{W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\vec{F}.d\vec{OM}}


  • \boxed{E_c=\dfrac{1}{2}mv^2}

est l'énergie cinétique de M où m est la masse de M et \vec{v} sa vitesse



Théorème de la puissance cinétique

D'après ce qui précède, on a


\boxed{\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}}

Dans un référentiel galiléen, la puissance de la résultante des forces exercées sur M est égale à la dérivée par rapport au temps de son énergie cinétique


Théorème de l'énergie cinétique

Toujours d'après ce qui précède, on a

dE_c=\delta W

qui constitue la forme différentielle du théorème de l'énergie cinétique. En intégrant entre deux instants t_1 et t_2

\boxed{\Delta E_c=E_c(t_2)-E_c(t_1)=W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\vec{F}.d\vec{OM}}

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique de M entre deux instants t_1 et t_2 est égale au travail de la résultante des forces qui s'exercent sur M entre ces deux instants

Attention : en général W\not=W(t_2)-W(t_1)



L'énergie cinétique se conserve-t'elle ?

Si

\vec{F}=0

(point isolé ou pseudo-isolé) alors

\mathcal{P}=0\quad \mathrm{et}\quad E_c=cte


Contrairement à la conservation de la quantité de mouvement qui reste valable pour les systèmes, la conservation de l'énergie cinétique n'est valable que pour le point; celle-ci est par exemple mise en défaut sur l'exemple du système canon-projectile

Nous verrons que pour un système, le théorème de la puissance cinétique s'écrit

\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}_{int}+\mathcal{P}_{ext}

  • E_c est l'énergie cinétique totale du système
  • \mathcal{P}_{ext} la puissance des forces extérieures qui s'exercent sur le système
  • \mathcal{P}_{int} la puissance des forces intérieures qui s'exercent sur le système

C'est justement la présence de \mathcal{P}_{int} qui est à l'origine de la non conservation de l'énergie cinétique



--DamienDecout 3 janvier 2008 à 11:40 (CET)