Problème à un degré de liberté - Positions d'équilibre

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Equilibre stable - Exemple du ressort

E_p=\dfrac{1}{2}kx^2

Image:equilibre_stable.png

Comme E_m=\mathrm{cte}=E_c+E_p et E_c\geq 0, E_m est la plus grande valeur que puisse prendre E_p. Le mouvement est donc limité par x=-a et x=+a


F_x=-\dfrac{dE_p}{dx}=-kx

Entre 0 et a, F_x\leq 0 ramène le système en x=0

Entre 0 et -a, F_x\geq 0 ramène aussi le système en x=0


x=0, le minimum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre stable pour le ressort.



Equilibre instable - Exemple du pendule

E_p=mgl(1-\cos\theta)

Image:equilibre_instable.png

Comme pour le ressort, \theta=0, le minimum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre stable pour le pendule.


Regardons maintenant ce qui se passe autour du maximum d'énergie potentielle \theta=\pi :

\delta W=F_r\,dr+F_\theta\,rd\theta=F_\theta\,ld\theta=-dE_p

F_\theta=-\dfrac{1}{l}\dfrac{dE_p}{d\theta}=-mg\sin\theta

Entre 0 et \pi, F_\theta\leq 0 éloigne le système de \theta=\pi

Entre \pi et 2\pi, F_\theta\geq 0 éloigne aussi le système de \theta=\pi


\theta=\pi, le maximum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre instable pour le pendule.



Généralisation

Image:equilibre_generalisation.png

Un minimum d'énergie potentielle x_1 correspond à une position d'équilibre stable :

\boxed{\left(\dfrac{dE_p}{dx}\right)_{x_1}=0\quad\mathrm{et}\quad\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_1}>0}

Un maximum d'énergie potentielle x_2 correspond à une position d'équilibre instable :

\boxed{\left(\dfrac{dE_p}{dx}\right)_{x_2}=0\quad\mathrm{et}\quad\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_2}<0}


  • Si E_m<E_p(x_1), le système peut s'échapper vers les x>0, on a un état de diffusion.
  • Si E_p(x_1)<E_m<E_p(x_2), le système est confiné entre x_a et x_b, on a un état lié.
  • Si E_m>E_p(x_2), on a encore un état de diffusion.



--DamienDecout 23 janvier 2008 à 06:49 (CET)