Problème à un degré de liberté - Portrait de phase

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Sommaire

Déterminisme mécanique - Etat d'un système

Pour un problème à un degré de liberté x, la deuxième loi de Newton donne

m\dfrac{d^2x}{dt^2}=F\left(x,\dfrac{dx}{dt},t\right)

équation différentielle du deuxième ordre équivalent à

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      \dfrac{dx}{dt}=v\\
	      m\dfrac{dv}{dt}=F(x,v,t)
	    \end{array}
	  \right.

système de deux équations différentielles d'ordre un.


Ce système admet une solution unique si x(0) et v(0) sont donnés.

Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales déterminées (principe du déterminisme mécanique).


L'état d'un système à un degré de liberté est représenté à tout instant, par un point P(t) de coordonnées (x(t),v(t)) dans un plan appelé plan de phase :

Image:plan_phase.png


Quand le temps s'écoule, le point P(t) décrit une courbe appelée trajectoire de phase. Toute trajectoire de phase débute en P(0) de coordonnées (x(0),v(0))


Le portrait de phase d'un système est l'ensemble des trajectoires de phase du système obtenues en considérant l'ensemble des conditions initiales réalisables.



Exemples

Oscillateur

E_m=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2=\dfrac{1}{2}ka^2

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{v^2}{a^2\omega_0^2}=1

c'est l'équation d'une ellipse :

Image:portrait_phase_oscillateur.png


Oscillateur amorti

L'énergie mécanique diminue :

Image:pphase_oscill_amorti.png


Pendule

Suivant les conditions initiales, le mouvement peut-être :

  • harmonique
  • périodique mais non harmonique
  • révolutif

Image:portrait_phase_pendule.png


Notons la sensibilité du pendule aux conditions initiales :

Image:portrait_phase_sens_CI.png


Pendule amorti

Image:portrait_phase_pendule_am.png



Lecture et interprétation

  • si la trajectoire est fermée, le mouvement est périodique
  • si la trajectoire est en plus elliptique, le mouvement est sinusoïdal
  • une bosse (vitesse maximale) sur la trajectoire de phase correspond à une position d'équilibre stable
  • un creux (vitesse minimale) correspond à une position d'équilibre instable



--DamienDecout 24 janvier 2008 à 07:10 (CET)