Problème à un degré de liberté - Petits mouvements au voisinage d’une position d'équilibre stable

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Exemple du pendule

Image:pendule.png

E_p=mgl(1-\cos\theta)


Au voisinage de \theta=0

\cos\theta\simeq 1-\dfrac{\theta^2}{2}

l'énergie potentielle s'écrit

E_p\simeq mgl\dfrac{\theta^2}{2}


En utilisant l'intégrale première de l'énergie

E_m=cte=\dfrac{1}{2}m(l\dot{\theta})^2+mgl\dfrac{\theta^2}{2}\Rightarrow 0=ml^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+mg\,l\theta\dot{\theta}

on trouve l'équation différentielle qui régit le mouvement du pendule (au voisinage de \theta=0) :

\ddot{\theta}+\dfrac{g}{l}\theta=0



Généralisation

Une fonction f(x) peut être développée autour de x_0 selon

f(x)=f(x_0)+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)

(Développement en série de Taylor)


Exemple : f(x)=\cos x autour de x=0

\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+...


Développons E_p(x) autour d'une position d'équilibre x=x_e

 E_p(x) = E_p(x_e)+(x-x_e)\left(\dfrac{dE_p}{dx}\right)_{x_e}+\dfrac{(x-x_e)^2}{2}\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_e}+...

E_p(x) = E_p(x_e)+0+\dfrac{1}{2}k(x-x_e)^2+...

en posant k=\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_e}


L'énergie mécanique se conservant

E_m=cte=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+E_p(x_e)+\dfrac{1}{2}k(x-x_e)^2\Rightarrow m\ddot{x}+k(x-x_e)=0

ou encore en posant X=x-x_e

m\ddot{X}+kX=0


  • Si k>0, on retrouve l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique, le système oscille autour de la position d'équilibre

qui est donc stable.

  • Si k<0, X=A\cosh (\omega t+\varphi), le système s'éloigne de la position d'équilibre qui est donc instable.



--DamienDecout 23 janvier 2008 à 13:10 (CET)