Pendules couplés par un ressort - Etude théorique et animation

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L’animation des pendules couplés par un ressort, présentée dans cet article, a été réalisée par
L’animation des pendules couplés par un ressort, présentée dans cet article, a été réalisée par
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trois étudiants de l’ESIB en première année de génie électrique : Petra JABER, Paul JASSER et
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trois étudiants de l’[http://www.fi.usj.edu.lb/ ESIB] en première année de génie électrique : Petra JABER, Paul JASSER et
Joseph MALLAH. Cette animation rentre dans le cadre d’un projet relatif au cours de « Méthodes
Joseph MALLAH. Cette animation rentre dans le cadre d’un projet relatif au cours de « Méthodes
numériques » et a nécessité l’utilisation de la méthode Runge-Kutta du troisième ordre. Pour la
numériques » et a nécessité l’utilisation de la méthode Runge-Kutta du troisième ordre. Pour la

Version du 13 octobre 2011 à 13:25

Sommaire

Introduction

On dit qu’un système possède deux degrés de liberté, lorsque la définition complète du système nécessite la connaissance, à chaque instant, de deux paramètres de ce système (par exemple les deux coordonnées d’un point se déplaçant sur un plan).

Un système à deux degrés de liberté peut aussi être la réunion de deux sous-systèmes à un degré de liberté chacun. Si le mouvement de l’un influe sur celui de l’autre, les deux sous-systèmes sont dit couplés.

Il existe trois grands modes de couplages : par élasticité ou élongation, par inertie et par viscosité.

1er mode : couplage par élasticité ou par élongation

La liaison entre les oscillations est due à un condensateur (système électrique figure 1-a) ou à un ressort (système mécanique figure 1-b).

Image:Marwan01.jpg

2ème mode : couplage par inertie

La liaison est due à une induction mutuelle (électrique figure 2-a) ou à une masse (mécanique figure 2-b).

Image:Marwan02.jpg

3ème mode : couplage par viscosité

La liaison est due à une résistance (électrique figure 3-a) ou à un frottement (mécanique figure 3-b).

Image:Marwan03.jpg

Dans cet article, nous étudierons les systèmes mécaniques les plus fréquemment utilisés dans la pratique, à savoir : les systèmes couplés par élasticité. Nous nous intéresserons plus particulièrement à l’étude d’un système de deux pendules identiques couplés par un ressort.

Le travail sera divisé en deux parties. La première portera sur l’étude théorique des oscillations libres de deux pendules identiques couplés par un ressort en l'absence de frottements. La seconde présentera une animation de ce système, effectuée par trois étudiants de l’ESIB, dans le cadre d’un projet de « Méthodes numériques ».

Partie I : Etude théorique

Présentation du système

Un pendule simple est constitué d’une masse m accrochée à un fil (de masse supposée négligeable) qui peut osciller librement sous l’effet de son poids \vec{P} autour d’un axe donné. On notera l la distance entre la masse m du pendule et l’axe de rotation (figure 4).

Image:Marwan04.jpg

On appelle J le moment d’inertie du pendule par rapport à l’axe de rotation.

Considérons maintenant deux pendules simples identiques de masse respective m, qui sont couplés par un ressort horizontal de constante de raideur k à une distance a de l’axe de rotation (figure 5).

Image:Marwan05.jpg

Les forces exercées sur chaque pendule sont :

  • Le poids \vec{P}=m\vec{g}
  • La force due au ressort : \vec{F}=-k\vec{\Delta x}
  • \Delta x étant l’élongation du ressort par rapport à sa longueur d’équilibre.

\Delta x s’écrit : \Delta x=a(\sin\phi_1-\sin\phi_2) \simeq a(\phi_1-\phi_2) dans le cas où \phi_1 et \phi_1sont faibles

Détermination des équations générales du mouvement

L’application du théorème du moment cinétique sur chacun des deux pendules, dans le cas de faibles oscillations, donne le système d’équations suivant :

J\ddot{\phi}_1=-mgl\phi_1-ka^2(\phi_1-\phi_2)(1)

J\ddot{\phi}_2=-mgl\phi_2-ka^2(\phi_1-\phi_2)(2)

Les équations (1) et (2) forment un système d’équations dites couplées, puisque \phi_1 et \phi_2 apparaissent dans chacune de ces deux équations. Pour découpler ces équations, il convient d’une part d’ajouter et d’autre part de soustraire l’équation (2) et (1). Par suite, on obtient :

J(\ddot{\phi}_1+\ddot{\phi}_2)=-mgl(\phi_1+\phi_2)

J(\ddot{\phi}_1-\ddot{\phi}_2)=-(mgl+2ka^2)(\phi_1-\phi_2)

Un changement de variable \varphi_1=\phi_1+\phi_2 et \varphi_2=\phi_1-\phi_2 conduit à deux équations ne mélangeant plus \varphi_1 et \varphi_2 :

J\ddot{\varphi_1}=-mgl\varphi_1 (3)

J\ddot{\varphi_2}=-(mgl+2ka^2)\varphi_2 (4)

Les solutions de (3) et (4) sont données par :

\varphi_1(t)=A_1\cos(\omega_1t+B_1) avec \omega_1^2=\dfrac{mgl}{J}

\varphi_2(t)=A_2\cos(\omega_2t+B_2) avec \omega_2^2=\dfrac{mgl+2ka^2}{J}

Les équations respectives du mouvement des pendules 1 et 2 sont donc de la forme :

\phi_1=A_3\cos(\omega_1t+B_1)+A_4\cos(\omega_2t+B_2) (5)

\phi_2=A_3\cos(\omega_1t+B_1)-A_4\cos(\omega_2t+B_2) (6)

A3, A4, B1 et B2 étant des constantes déterminées par les conditions initiales.

Cas particuliers d’oscillations

En fonction des conditions initiales choisies, il est possible de distinguer trois types fondamentaux d’oscillations, à savoir : les oscillations en phase, les oscillations en opposition de phase et les battements.

Oscillations en phase

Si l’on choisit les conditions initiales suivantes :

\phi_1(0)=\phi_2(0)=\phi_0 et \dot{\phi}_1(0)=\dot{\phi}_2(0)=0

et si l’on applique ces conditions initiales aux équations (5) et (6) précédentes, cela donne : A_3=\phi_0, A_2=0, B_1=0 et B_2 indéterminée.

Dans ce cas, \phi_1(t) et \phi_2(t) sont égales et prennent la forme suivante :

\phi_1(t)=\phi_2(t)=\phi_0\cos(\omega_1 t)

Les deux pendules vont osciller en phase, avec la même fréquence. Le couplage ne joue aucun rôle, puisque le ressort reste toujours dans le même état de tension. La période des oscillations est celle d’un pendule simple.

T_{\omega_1}=\dfrac{2\pi}{\omega_1}=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{mgl}}

Oscillations en opposition de phase

Si l’on choisit les conditions initiales suivantes :

\phi_1(0)=\phi_0 et \phi_2(0)=-\phi_0 et \dot{\phi}_1(0)=\dot{\phi}_2(0)=0

En suivant le même raisonnement qu’au paragraphe précédent, on obtient :A_3=0, A_4=\phi_0, B_2=0 et B_1 indéterminée.

Dans ce cas, \phi_1(t) et \phi_2(t) sont opposées et prennent la forme suivante :

\phi_1(t)=-\phi_2(t)=\phi_0\cos(\omega_2 t)

Les deux pendules vont osciller en opposition de phase, avec la même fréquence T_{\omega_2}, telle que :

T_{\omega_2}=\dfrac{2\pi}{\omega_2}=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{mgl+2ka^2}}

Cas particulier des pendules sympathiques

Si l’on choisit les conditions initiales suivantes :

\phi_1(0)=\phi_0 et \phi_2(0)=0 et \dot{\phi}_1(0)=\dot{\phi}_2(0)=0

On obtient alors : A_3=A_4=\dfrac{\phi_0}{2}, B_1=B_2=0

Dans ce cas, \phi_1(t) et \phi_2(t) s’écrivent finalement sous la forme :

\phi_1(t)=\phi_0\cos(\dfrac{\omega_2-\omega_1}{2}t)\cos(\dfrac{\omega_2+\omega_1}{2}t)

\phi_2(t)=\phi_0\sin(\dfrac{\omega_2-\omega_1}{2}t)\sin(\dfrac{\omega_2+\omega_1}{2}t)

Si le moment de force dû au couplage est faible vis-à-vis du moment de force dû au poids, alors ka^2<<mgl ; on voit que les pulsations propres du système \omega_2 et \omega_1 sont voisines, c’est-à-dire que :

\omega_2-\omega_1<<\omega_2+\omega_1

Il s’ensuit que les fonctions \sin(\dfrac{\omega_2-\omega_1}{2}t) et \cos(\dfrac{\omega_2-\omega_1}{2}t) varient lentement par rapport aux fonctions \sin(\dfrac{\omega_2+\omega_1}{2}t) et \cos(\dfrac{\omega_2+\omega_1}{2}t).

En outre, on remarque que l’amplitude d’un des pendules variant à la fréquence \dfrac{\omega_2+\omega_1}{2}, est modulée par la faible fréquence \dfrac{\omega_2-\omega_1}{2}. On observe alors des oscillations avec battements : il y a échange d’énergie mécanique entre les pendules, par l’intermédiaire du ressort de couplage. Ceci explique pourquoi l’un des pendules est arrêté, lorsque l’autre a son amplitude maximale.

Nous pouvons alors mesurer la période des battements T_b, correspondant au temps compris entre trois arrêts consécutifs du même pendule :

T_b=\dfrac{2\pi}{\dfrac{\omega_2-\omega_1}{2}}=\dfrac{2T_{\omega_1}T_{\omega_2}}{T_{\omega_1}-T_{\omega_2}}

Partie II : Animation des pendules couplés par un ressort

Contexte

L’animation des pendules couplés par un ressort, présentée dans cet article, a été réalisée par trois étudiants de l’ESIB en première année de génie électrique : Petra JABER, Paul JASSER et Joseph MALLAH. Cette animation rentre dans le cadre d’un projet relatif au cours de « Méthodes numériques » et a nécessité l’utilisation de la méthode Runge-Kutta du troisième ordre. Pour la réalisation de cette animation, un programme informatique écrit en langage C++ a été mis au point.

Différences entre les parties I et II

Alors que la partie I porte sur la théorie des pendules identiques couplés par un ressort dans un champ de pesanteur g constant et sans forces de frottement, l’animation de la partie II permet en plus de:

  • simuler le mouvement couplé de deux pendules qui ne sont pas forcément identiques
  • changer la valeur du champ de pesanteur g
  • exercer une force de frottement fluide, caractérisée par un coefficient moyen noté \overline{k}

Les trois cas particuliers de la partie I (oscillations en phase, en opposition de phase et battements) peuvent être obtenus facilement par l’animation, en fixant des paramètres identiques pour les deux pendules et en attribuant des conditions initiales adéquates.

Manuel d’utilisation

Rubrique principale

Dans la fenêtre principale, il est possible de fixer :

  • la masse respective de chaque pendule (comprise entre 1 et 100 g)
  • la raideur du ressort (comprise entre 0 et 200 N/m) ; lorsque la raideur est nulle, les deux

pendules sont supposés découplés

  • la longueur respective de chaque pendule (comprise entre 1 et 100 cm)
  • la distance support-ressort (comprise entre 0 cm et une valeur maximale égale à celle de

la longueur du pendule le plus court)

  • l’amplitude initiale de chaque pendule et ce, en cliquant sur le pendule choisi et en

déplaçant le curseur.

Remarque : il est même possible de personnaliser la fenêtre principale (notamment de changer la couleur des pendules) en effectuant « un double click » sur cette dernière.

Rubrique Advanced setting

En cliquant sur « Edit ► Advanced setting», il est possible de fixer :

  • la vitesse initiale respective de chaque pendule (comprise entre -20 rad/s et +20 rad/s)
  • la valeur de l’accélération de la pesanteur g (comprise entre 0 et 20\,m.s^{-2})
  • la valeur du coefficient moyen des forces de frottements fluides (comprise entre 0 et 10).

Dans Advanced setting, vous pouvez également cliquer sur la rubrique More de façon à fixer :

  • le temps total de l’expérience (compris entre 20 et 999 s)
  • le pas temporel pour la résolution numérique (compris entre 0,01 à 0,1 s), ce pas étant indicatif de la précision de la méthode Runge-Kutta
  • l’affichage ou pas, sur l’animation, des vecteurs vitesses

Affichage des graphes

En cliquant sur « Edit ► Plot », vous pouvez visualiser les graphes représentant les variations des amplitudes des deux pendules ainsi que leurs vitesses, en fonction du temps.

Téléchargement de l’animation

Le lecteur peut télécharger l’animation des pendules couplés par un ressort, en appuyant sur le lien http://www.fi.usj.edu.lb/files/pendulescouples.zip puis en sauvegardant le fichier zippé.