Oscillateur harmonique - Oscillations libres amorties

Un article de wiki sillages.info.

Sommaire

Temps de relaxation - Facteur de qualité

Avec amortissement, l'équation différentielle régissant l'évolution au cours du temps de l'oscillateur harmonique, devient

m\ddot{x}=-kx-h\dot{x}

que l'on met sous la forme

\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^2 x=0

avec 2\alpha=\dfrac{h}{m} et \omega_0^2=\dfrac{k}{m}, ou encore

\ddot{x}+\dfrac{\dot{x}}{\tau}+\omega_0^2 x=0

\tau est une constante ayant la dimension d'un temps qui est appelée temps de relaxation de l'oscillateur, \omega_0 étant sa pulsation propre.


Pour décrire l'oscillateur amorti, on peut préférer au couple (\omega_0,\tau) le couple (\omega_0,Q), Q étant un paramètre sans dimension appelé facteur de qualité défini par

Q=\omega_0\tau=2\pi\dfrac{\tau}{T_0}=\dfrac{\omega_0}{2\alpha}=\dfrac{m\omega_0}{h}


Une solution en \exp(rt) existe si

r^2+2\alpha r+\omega_0^2=0

Suivant le signe du discriminant réduit \Delta'=\alpha^2-\omega_0^2, plusieurs régimes sont possibles



Régime pseudo-périodique

Si les frottements sont faibles alors

\alpha<\omega_0,\quad Q>\dfrac{1}{2}\quad \mathrm{et}\quad \Delta'<0

La solution est de la forme

x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)

en introduisant la pseudo-pulsation \Omega telle que

\Omega^2=\omega_0^2-\alpha^2\ (\Delta'=-\Omega^2=(i\Omega)^2\ \mathrm{et}\ r=-\alpha\pm i\Omega)


\dot{x}=-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)+\mathrm{e}^{-\alpha t}\Omega(-A\sin\Omega t+B\cos\Omega t)

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x(0)=A=x_0\\
	      \dot{x}(0)=-\alpha A+\Omega B=v_0
	    \end{array}
	  \right.

\boxed{x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(x_0\cos\Omega t+\dfrac{v_0+\alpha x_0}{\Omega}\sin\Omega t)}

Image:pseudoperiodique.png

Une telle évolution de retour vers un état permanent est qualifiée de relaxation; ce retour se fait au bout de quelques \tau


T=\dfrac{2\pi}{\Omega}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\alpha}{\omega_0}\right)^2}}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}}

est la pseudo-période


La détermination expérimentale de \delta=\ln\left(\dfrac{x(t)}{x(t+T)}\right) appelé décrément logarithmique permet de calculer le facteur de qualité :

\delta=\alpha T=\dfrac{\omega_0 T}{2Q}=\dfrac{\pi}{\sqrt{Q^2-\dfrac{1}{4}}}



Régime apériodique

Si les frottements sont importants alors

\alpha>\omega_0,\quad Q<\dfrac{1}{2}\quad \mathrm{et}\quad \Delta'>0

La solution est de la forme

x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cosh\Omega' t+B\sinh\Omega' t)

avec

\Omega'^2=\alpha^2-\omega_0^2\ (r=-\alpha\pm\Omega')


\dot{x}=-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cosh\Omega' t+B\sinh\Omega' t)+\mathrm{e}^{-\alpha t}\Omega'(A\sinh\Omega' t+B\cosh\Omega' t)

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x(0)=A=x_0\\
	      \dot{x}(0)=-\alpha A+\Omega' B=v_0
	    \end{array}
	  \right.

\boxed{x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(x_0\cosh\Omega' t+\dfrac{v_0+\alpha x_0}{\Omega'}\sinh\Omega' t)}

Image:aperiodique.png



Régime critique

Si

\alpha=\omega_0,\quad Q=\dfrac{1}{2}\quad \mathrm{et}\quad \Delta'=0

La solution est de la forme

x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(At+B)

avec r=-\alpha


\dot{x}=-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(At+B)+\mathrm{e}^{-\alpha t}A

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x(0)=B=x_0\\
	      \dot{x}(0)=-\alpha B+A=v_0
	    \end{array}
	  \right.

\boxed{x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}((v_0+\alpha x_0)t+x_0)}

Image:critique.png

Le régime critique n'est jamais réalisé physiquement exactement.



Etude énergétique

\dfrac{dE_m}{dt}=\mathcal{P}^{nc}=-hv^2<0



--DamienDecout 25 janvier 2008 à 16:59 (CET)