Oscillateur harmonique - Oscillations libres

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Pulsation propre - Isochronisme des oscillations

La solution de l'équation différentielle, régissant l'évolution au cours du temps de l'oscillateur harmonique, peut se mettre sous la forme

x(t)=x_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

\dot{x}(t)=-x_m\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi)=v(t)

x_m et \varphi sont déterminés par les conditions initiales.


Si x(0)=x_0 et v(0)=v_0 alors

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x_m=\sqrt{x_0^2+\left(\dfrac{v_0}{\omega_0}\right)^2}\\
	      \tan\varphi=-\dfrac{v_0}{\omega_0 x_0}
	    \end{array}
	  \right.

La période T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0} est indépendante des conditions initiales; c'est une propriété importante de l'oscillateur harmonique appelée isochronisme des oscillations.



Etude énergétique

E_m=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}mx_m^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t+\varphi)+\dfrac{1}{2}kx_m^2\cos^2(\omega_0 t+\varphi)=\dfrac{1}{2}kx_m^2


Calculons la valeur moyenne de E_p

\langle E_p\rangle=\dfrac{1}{T}\int_0^T E_p(t)dt=\dfrac{kx_m^2}{2}\langle \cos^2(\omega_0  +\varphi)\rangle=\dfrac{kx_m^2}{4}

de même

\langle E_c\rangle=\dfrac{kx_m^2}{4}


Pendant le mouvement, il y a équipartition, en moyenne, des formes cinétique et potentielle de l'énergie :

\langle E_p\rangle=\langle E_c\rangle=\dfrac{E_m}{2}



--DamienDecout 24 janvier 2008 à 14:11 (CET)