Nombres complexes

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Ensemble des nombres complexes

L’ensemble \mathbb C est muni de deux opérations internes (addition et multiplication).

Il a une structure de corps commutatif.

Il possède un élément noté i qui vérifie i^2=-1.

Il ne possède pas de relation d’ordre compatible avec les opérations.

Forme algébrique

\forall{z\in\mathbb C}\quad\exists !(x,y)\in{\mathbb R}^2\quad z=x+iy.

x=\mathrm {Re}(z) est sa partie réelle et y=\mathrm {Im}(z) est sa partie imaginaire.

z est réel ssi y=\mathrm {Im}(z)=0

z est imaginaire pur ssi x=\mathrm {Re}(z)=0

z=z'\Leftrightarrow \left\{
	          \begin{array}{ll}
	           \mathrm {Re}(z)=\mathrm {Re}(z') \\
	            \mathrm {Im}(z)=\mathrm {Im}(z')\\
	          \end{array}
	        \right

Il y a bijection entre \mathbb C et le plan de repère orthonormé (O,\vec u,\vec v).

Tout point M(x,y) a pour affixe z=x+iy.

Nombre complexe conjugué

\forall{z\in\mathbb C}\quad\overline z=x-iy\quad\mathrm{si}\quad x=\mathrm {Re}(z)\quad\mathrm{et}\quad y=\mathrm {Im}(z).

z est réel ssi z=\overline z

z est imaginaire pur ssi z=-\overline z

Propriétés :

\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}

\overline{zz'}=\overline z\times\overline{z'}

\overline{(z^n)}=(\overline z)^n

\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline z}{\overline {z'}}

\mathrm {Re}(z)=\dfrac{z+\overline z}{2} et \mathrm {Im}(z)=\dfrac{z-\overline z}{2i}

Module d’un nombre complexe

\forall{z\in\mathbb C}\quad|z|=\sqrt{x^2+y^2}\quad\mathrm{si}\quad x=\mathrm {Re}(z)\quad\mathrm{et}\quad y=\mathrm {Im}(z).

Le module de z est la distance OM si z est l’affixe de M.

|z|=0\Leftrightarrow z=0

Propriétés :

|z|=|\overline z|

|z|=\sqrt{z\overline z}

|zz'|=|z|\times|z'|

|z^n|={|z|}^n

|\dfrac{z}{z'}|=\dfrac{|z|}{|z'|}

|z+z'|\leq|z|+|z'|

Argument d’un nombre complexe non nul

Si z\neq 0 et si M est le point d’affixe z, \arg(z) est l’angle (\vec u,\vec{OM}) et par abus de langage toute mesure de cet angle.

Si z\neq 0 : \arg(z)\equiv \theta \quad(2\pi) \Leftrightarrow\cos\theta=\dfrac{\mathrm {Re}(z)}{|z|}\quad\mathrm {et} \quad\sin\theta=\dfrac{\mathrm {Im}(z)}{|z|}

z est réel si et seulement si \arg(z)\equiv 0\quad(\pi)

z est imaginaire pur si et seulement si \arg(z)\equiv\dfrac{\pi}{2}\quad(\pi)

Propriétés :

\arg(\overline z)\equiv -\arg(z)\quad(2\pi)

\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\quad(2\pi)

\arg(zz')\equiv \arg(z)+\arg(z')\quad(2\pi)

\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv \arg(z)-\arg(z')\quad(2\pi)

Notation exponentielle

\forall{\theta\in\mathbb R}\quad\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}

Forme trigonométrique d’un complexe non nul

Pour tout z\in\mathbb C^*, il existe un unique réel r>0 et un réel \theta unique à 2k\pi près (k\in\mathbb Z) tels que : z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}.

Alors r=|z| et \theta= \arg(z).

z=z'\Leftrightarrow|z|=|z'|\quad\mathrm{et}\quad\arg(z)\equiv\arg(z')\quad(2\pi)

Formules d’Euler

\forall{\theta\in\mathbb R\quad\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}\quad\mathrm{et}\quad\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}}

Formule de Moivre

\forall{n\in\mathbb Z\quad\forall{\theta\in\mathbb R\quad(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta.

Racines n-èmes d’un complexe non nul

Les racines n-ièmes de Z sont les solutions de z^n=Z.

Si Z=Re^{i\alpha}, alors Z possède n racines n-ièmes. Pour k\in[\![0,n-1]\!] :

          z_k = \sqrt[n]{R}e^{i\left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)}

Leur somme est égale à 0. Elles sont toutes obtenues en multipliant l’une d’entre elles par les racines n-ièmes de l’unité.

Il y a n racines n-ièmes de l’unité. Pour k\in[\![0,n-1]\!] :

          \omega_k=e^{\dfrac{2ik\pi}{n}}=(\omega_1)^k

Leur somme est égale à 0 et elles sont solutions de l'équation z^n=1.


--CatherineLaidebeure 20 juillet 2010 à 13:30 (CEST)