Matrices

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Matrices à n lignes et p colonnes

A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix}\qquad a_{ij} est l'élément de \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            \mathrm{la\;ligne}\;i \\
	            \mathrm{la\;colonne}\;j \\
	          \end{array}
	        \right.

Matrice ligne si n=1.

Matrice colonne si p=1.

Matrice nulle si \forall(i,j)\quad a_{ij}=0.

Matrice carrée d'ordre n si p=n.

Matrice carrée diagonale si a_{ij}=0 pour tous i\neq j.

Matrice I_n unité d'ordre n : matrice diagonale avec \forall i\quad a_{ij}=1.

Matrice carrée triangulaire supérieure si a_{ij}=0 pour tous i>j.

Matrice carrée triangulaire inférieure si a_{ij}=0 pour tous i<j.

\mathcal M_{n,p}(K) : ensemble des matrices à n lignes et p colonnes dont les éléments sont dans K.

\mathcal M_n(K) : ensemble des matrices carrées d'ordre n dont les éléments sont dans K.

Egalité de deux matrices

Elles doivent avoir les mêmes dimensions et : \forall(i,j)\quad a_{ij}=b_{ij}.

Addition de deux matrices

Si A\in\mathcal M_{n,p}(K) et B\in\mathcal M_{n,p}(K), la matrice C=A+B appartient à \mathcal M_{n,p}(K) et elle est obtenue en additionnant les éléments termes à termes : \forall(i,j)\quad c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.

Multiplication d’une matrice par un scalaire

Si A\in\mathcal M_{n,p}(K) et \lambda\in K, la matrice C=\lambda A appartient à \mathcal M_{n,p}(K) et elle est obtenue en multipliant tous les éléments de A par \lambda : \forall(i,j)\quad c_{ij}=\lambda a_{ij}.

Multiplication de deux matrices

Si A\in\mathcal M_{n,p}(K) et B\in\mathcal M_{p,q}(K), la matrice C=AB appartient à \mathcal M_{n,q}(K) et l'élément c_{ij} est obtenu en multipliant la ligne i de A par la colonne j de B : \forall(i,j)\quad c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}.

Transposée d’une matrice

Si A\in\mathcal M_{n,p}(K), sa transposée C={}^t A est la matrice de \mathcal M_{p,n}(K) qui est obtenue en intervertissant les lignes et les colonnes de A : \forall(i,j)\quad c_{ij}=a_{ji}.

Propriétés :

  • {}^t(A+B)={}^t A+{}^t B
  • {}^t(\lambda A)=\lambda({}^t A)
  • {}^t(AB)={}^t B{}^t A

Une matrice carrée est symétrique si {}^t A=A.

Une matrice carrée est antisymétrique si {}^t A=-A.

Propriétés algébriques

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B

(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A

\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A

\lambda A=0\Leftrightarrow\lambda=0\quad\mathrm{ou}\quad A=0

\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)

(AB)C=A(BC)

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

Si A\in\mathcal M_{n,p}(K) : AI_p=I_nA=A.

La multiplication des matrices n’est pas commutative : AB\neq BA en général.

Si AB=BA on dit que les matrices commutent.

Un produit de matrices peut être nul sans qu’aucune des matrices ne soit nulle.

Inverse d’une matrice carrée

Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que : I=AB=BA. Alors B=A^{-1}.

Propriétés :

(A^{-1})^{-1}=A

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

{}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}

AB=C\Leftrightarrow B=A^{-1}C si A est inversible.

BA=C\Leftrightarrow B=CA^{-1} si A est inversible.

Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si les éléments de sa diagonale sont non nuls.

Méthodes de calcul : Méthode de Jordan-Gauss ou Inversion du système ou Polynôme annulateur.

Puissances d’un matrice carrée

A^k=A\times ...\times A (k fois si k\in\mathbb N^*)

A^0=I

Propriétés :

A^kA^m=A^{k+m}

(A^k)^m=A^{km}

(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k

{}^t(A^k)=({}^t A)^k

Formule du binôme seulement si A et B commutent :

Si AB=BA, alors : (A+B)^m=\sum_{k=0}^{m}\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}A^kB^{m-k}=\sum_{k=0}^{m}\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}A^{m-k}B^k.

Puissances d’une matrice diagonale

Si D=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_n \end{pmatrix}, alors D^k=\begin{pmatrix} (d_1)^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & (d_n)^k \end{pmatrix}

Structure de l’ensemble des matrices

L'ensemble des \mathcal M_{n,p}(K) est un espace vectoriel de dimension np.

Sa base canonique est formée des matrices E_{ij} dont tous les éléments sont nuls sauf a_{ij}=1.

L'ensemble des \mathcal M_n(K) est un espace vectoriel de dimension n^2.


--CatherineLaidebeure 29 juillet 2010 à 09:30 (CEST)