Lois discrètes infinies

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Le lecteur pourra aussi consulter l'article Lois discrètes finies.

Loi géométrique \mathcal G(p)

(p\in]0,1[)

X\hookrightarrow\mathcal G(p)\quad\mathrm{si}\quad X(\Omega)=\mathbb N^*}\quad\mathrm{et}\quad \forall{k\in\mathbb N^*\quad P(X=k)=(1-p)^{k-1}p

Espérance : E(X)=\dfrac{1}{p}

Variance : V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}

Exemple : On répète de manière indépendante et dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p (par exemple lancer indéfiniment une pièce dont la probabilité de « pile » est p). Alors le rang X (ou temps d’attente) du premier succès (premier « pile ») suit la loi géométrique \mathcal G(p).

Remarque : En réalité, il faudrait tenir compte du cas où il n'y a aucun succès. Si on attribue à ce cas la valeur X=0, alors P(X=0)=1-\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k)=0.

Loi de Poisson \mathcal P(\lambda)

(\lambda\in{]0,+\infty[})

X\hookrightarrow\mathcal P(\lambda)\quad\mathrm{si}\quad X(\Omega)=\mathbb N}\quad\mathrm{et}\quad \forall{k\in\mathbb N\quad P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}


Espérance : E(X)=\lambda

Variance : V(X)=\lambda

Exemple : Flux d’individus pendant une période donnée ou nombre d’objets présentant un défaut dans une production en série.

Stabilité : Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives \mathcal P(\lambda) et \mathcal P(\mu), alors X+Y suit la loi \mathcal P(\lambda+\mu).


--CatherineLaidebeure 26 juillet 2010 à 09:18 (CEST)