Lois discrètes finies

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Le lecteur pourra aussi consulter l'article Lois discrètes infinies.

Sommaire

Loi uniforme U(n)

(n\in\mathbb N^*)

X\hookrightarrow\mathcal U(n)\quad\mathrm{si}\quad X(\Omega)=[\![1,n]\!]\quad\mathrm{et}\quad\forall{k\in[\![1,n]\!]}\quad P(X=k)=\dfrac{1}{n}

Espérance : E(X)=\dfrac{n+1}{2}

Variance : V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}

Loi uniforme U([a,b])

(a\in\mathbb Z,\quad b\in\mathbb Z\quad\mathrm{et}\quad a\leq b)

On introduit : n=\mathrm{Card}( [\![a,b]\!] )=b-a+1.

X\hookrightarrow\mathcal U([\![a,b]\!])\quad\mathrm{si}\quad X(\Omega)=[\![a,b]\!]\quad\mathrm{et}\quad\forall{k\in[\![a,b]\!]}\quad P(X=k)=\dfrac{1}{n}

Espérance : E(X)=\dfrac{a+b}{2}

Variance : V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}

Loi de Bernoulli B(p)

(p\in]0,1[)

X\hookrightarrow\mathcal B(p)\quad\mathrm{si}\quad X(\Omega)=\{0,1\}\quad\mathrm{et}\quad \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            P(X=0)=1-p \\
	            P(X=1)=p \\
	          \end{array}
	        \right

Espérance : E(X)=p

Variance : V(X)=p(1-p)

Epreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire n'ayant que deux issues Succès ou Echec (p : probabilité de succès)

Loi binomiale B(n,p)

(n\in\mathbb N^*\quad\mathrm{et}\quad p\in{]0,1[})

X\hookrightarrow\mathcal B(n,p)\quad\mathrm{si}\quad X(\Omega)=[\![0,n]\!]\quad\mathrm{et}\quad\forall{k\in[\![0,n]\!]\quad P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}

Espérance : E(X)=np

Variance : V(X)=np(1-p)

Schéma de Bernoulli : On répète n fois, de manière indépendante et dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p (par exemple n tirages successifs avec remise dans une même urne contenant une proportion p de boules blanches). Alors le nombre X de succès (boules blanches) suit la loi binômiale \mathcal B(n,p).

Stabilité : Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives \mathcal B(n,p) et \mathcal B(m,p), alors X+Y suit la loi \mathcal B(n+m,p).

Loi hypergéométrique H(N,n,p)

(N\in\mathbb N^*,n\in\mathbb N^*,p\in{]0,1[,Np\in\mathbb N^*})

X\hookrightarrow\mathcal H(N,n,p)\quad\mathrm{si}\quad X(\Omega)\subset [\![0,n]\!]\quad\mathrm{et}\quad\forall{k\in[\![0,n]\!]\quad  P(X=k)=\dfrac{\begin{pmatrix} Np \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N(1-p) \\ n-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}}

Espérance : E(X)=np

Variance : V(X)=np(1-p)\dfrac{N-n}{N-1}

Exemple : On effectue n tirages successifs sans remise (ou simultanés) dans une même urne qui contient N boules avec une proportion p de boules blanches. Alors le nombre X de boules blanches obtenues suit la loi hypergéométrique \mathcal H(N,n,p).