Logarithme népérien

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Définition

La fonction logarithme népérien est l’unique fonction dérivable sur ]0,+\infty[ qui vérifie \ln1=0 et \forall{x\in]0,+\infty[\quad (\ln)'(x)=\dfrac{1}{x}}.

Expression : \ln x=\int_{1}^{x}\dfrac{dt}{t}

Interprétation géométrique : Si a\geq 1, \ln a est l'aire (en unités d’aire) de la partie de plan limitée par la courbe (C) d’équation y=\dfrac{1}{x}, l'axe Ox et les droites d'équations x=1 et x=a. Si 0<a<1, \ln a est l'opposé de cette aire.

Propriété fondamentale

\ln(a\times b)=\ln a+\ln b pour tous réels a>0 et b>0.

Conséquences :

\ln(a^k)=k\ln a pour tout entier k

\ln(\sqrt a)=\dfrac{1}{2}\ln a

\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln a

\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b

Limites

\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln x=-\infty

\lim_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha\ln x=0 \quad (\alpha >0)

\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1

\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln x=+\infty

\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0 \quad (\alpha >0)

\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1

Signe

Courbe

\ln 1=0 et \ln e=1 (e\approx 2,718)


--CatherineLaidebeure 21 juillet 2010 à 08:15 (CEST)