Interprétation des limites

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Avant d'aborder cet article on pourra consulter l'article sur les limites.

Sommaire

Cas où \lim_{x\rightarrow a}f(x)=l

La courbe de f admet un « point limite » A(a,l) (ou point d’arrêt).

On obtient le coefficient directeur de la tangente en A en étudiant la limite de \dfrac{f(x)-l}{x-a} quand x tend vers a (ou demi-tangentes si l’on étudie les limites à gauche ou à droite de a).

Cas où \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty

La courbe de f admet une asymptote verticale d’équation x=a.

Cas où \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=l

La courbe de f admet une asymptote horizontale d’équation y=l.

Cas où \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty

Les courbes de f et de g sont asymptotes si \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-g(x)]=0.

En particulier, la droite d’équation y=ax+b est asymptote à la courbe de f si \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-ax-b]=0.

Etude de la branche infinie : on étudie \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}.

  • Si \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\infty : branche parabolique de direction Oy.


  • Si \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0 : branche parabolique de direction Ox.


  • Si \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\quad(\neq 0), on étudie \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-ax]:

\quad - Si \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-ax]=\infty : direction asymptotique y=ax.

\quad - Si \lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-ax]=b : asymptote oblique d'équation y=ax+b.


--CatherineLaidebeure 26 juillet 2010 à 17:56 (CEST)