Intégrales définies

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Subdivision d’un segment

Si a<b, on appelle subdivision de [a,b] toute suite finie strictement croissante \sigma=(x_0,...,x_n)x_0=a et x_n=b.

Le pas de la subdivision est |\sigma|=\mathrm{Max}\{x_{k+1}-x_k/k\in[\![0,n-1]\!]\}.

La subdivision est régulière si : \forall{k\in[\![0,n]\!]}\quad x_k=a+k\dfrac{b-a}{n}.

Intégrale d’une fonction en escalier

Une fonction \phi est en escalier sur [a,b] s’il existe une subdivision \sigma=(x_0,...,x_n) adaptée à \phi, c'est à dire telle que, pour tout {k\in[\![0,n-1]\!]}, \phi soit constante sur [x_k,x_{k+1}] : \phi(x)=c_k.

Alors l'intégrale de \phi sur [a,b] est : \int_{a}^{b}\phi(t)dt=\sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)c_k.

Elle est indépendante de la subdivision \sigma choisie (adaptée à \phi).

Fonction intégrable

Soit f une fonction bornée sur [a,b] (avec a<b).

L’ensemble des intégrales des fonctions en escalier qui minorent f admet une borne supérieure I^-(f).

L’ensemble des intégrales des fonctions en escalier qui majorent f admet une borne supérieure I^+(f).

La fonction f est intégrable sur [a,b] si les deux bornes sont égales.

Alors l'intégrale de f sur [a,b] est : \int_{a}^{b}f(t)dt=I^-(f)=I^+(f).

Fonctions continues par morceaux

Une fonction f est continue par morceaux sur [a,b] s’il existe une subdivision \sigma=(x_0,...,x_n) telle que, pour tout {k\in[\![0,n-1]\!]}, f soit continue sur ]x_k,x_{k+1}[ et admette un prolongement par continuité \tilde{f_k} sur [x_k,x_{k+1}] (limite réelle à gauche et à droite de tout x_k).

Alors f est intégrable sur sur [a,b] et : \int_{a}^{b}f(t)dt=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\tilde{f_k}(t)dt.

Fonctions continues

Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable sur [a,b].

Extension de la définition

Si f est une fonction continue sur un intervalle J, si F est une primitive quelconque de f sur J, alors :

\forall(a,b)\in {J^2}\quad\int_{a}^{b}f(t)dt=\left[F(t)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)

Conséquences :

\int_{a}^{a}f(t)dt=0 et \int_{b}^{a}f(t)dt=-\int_{a}^{b}f(t)dt.

Expression d’une primitive

Si f est continue sur un intervalle J et si a\in J, la fonction F définie par \forall x\in J\quad F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt est l'unique primitive de f sur J qui s'annule en a. Donc F(a)=0 et \forall x\in J\quad F'(x)=f(x).

Calculs d’aires

Si f et g sont des fonctions continues sur [a,b] (avec a\leq b) :

  • l’aire (en unités d’aire) de la partie de plan limitée par C_f, Ox et les droites d'équations x=a et x=b est : \mathcal A=\int_{a}^{b}|f(t)|dt.
  • l’aire (en unités d’aire) de la partie de plan limitée par C_f, C_g et les droites d'équations x=a et x=b est : \mathcal A=\int_{a}^{b}|f(t)-g(t)|dt.

Relation de Chasles

Si f est continue sur l'intervalle J : \forall(a,b,c)\in {J^3}\quad\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{c}f(t)dt+\int_{c}^{b}f(t)dt.

Intégrale d’une fonction continue paire ou impaire

Si f est impaire : \int_{-a}^{a}f(t)dt=0.


Si f est paire : \int_{-a}^{a}f(t)dt=2\int_{0}^{a}f(t)dt.

Linéarité de l’intégrale

Si f et g sont continues sur l'intervalle J :

\forall(a,b)\in J^2\quad\forall(\alpha,\beta)\in{\mathbb R}^2\quad\int_{a}^{b}[\alpha f(t)+\beta g(t)]dt=\alpha\int_{a}^{b}f(t)dt+\beta\int_{a}^{b}g(t)dt.

Signe d’une intégrale

Si f est continue sur un intervalle J et si (a,b)\in J^2 :

  • Si a\leq b et si \forall t\in[a,b]\quad f(t)\geq 0, alors \int_{a}^{b}f(t)dt\geq 0.
  • Si a\leq b et si \forall t\in[a,b]\quad f(t)\leq 0, alors \int_{a}^{b}f(t)dt\leq 0.

Comparaison de deux intégrales

Si f et g sont continues sur un intervalle J et si (a,b)\in J^2 :

  • Si a\leq b et si \forall t\in[a,b]\quad f(t)\leq g(t), alors \int_{a}^{b}f(t)dt\leq\int_{a}^{b}g(t)dt.

Inégalités de la moyenne

Si f est continue sur un intervalle J et si (a,b)\in J^2 :

  • Si a\leq b et si \forall t\in[a,b]\quad m\leq f(t)\leq M, alors m\leq (b-a)\int_{a}^{b}f(t)dt\leq M(b-a).
  • Si \forall t\in J\quad|f(t)|\leq M, alors \forall(a,b)\in{J^2}\quad\left|\int_{a}^{b}f(t)dt\right|\leq M|b-a|.

Majoration d’une intégrale

Si f est continue sur un intervalle J et si (a,b)\in J^2 :

  • Si a\leq b, on a : \left|\int_{a}^{b}f(t)dt\right|\leq\int_{a}^{b}|f(t)dt|\leq(b-a)\underset{t\in[a,b]}{\mathrm{Max}}|f(t)|.

Nullité d’une intégrale

Soit f une fonction continue sur [a,b] (avec a<b) et de signe constant.

Alors : \int_{a}^{b}f(t)dt=0\Leftrightarrow\forall t\in[a,b]\quad f(t)=0. Donc pour montrer que l'intégrale n'est pas nulle, il suffit de montrer que : \exists t\in[a,b]\quad f(t)\neq 0.

Valeur moyenne d’une fonction continue entre a et b

Si f est une fonction continue sur J et si (a,b)\in J^2, alors la valeur moyenne de f entre a et b est : \mu=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt.

Intégration par parties

Si u et v sont deux fonctions de classe C^1 sur un intervalle J :

\forall(a,b)\in J^2\quad\int_{a}^{b}u'(t)v(t)dt=[u(t)v(t)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u(t)v'(t)dt.

Changement de variable

Si \phi est de classe C^1 sur un intervalle J et si f est continue sur \phi (J), alors \int_{a}^{b}f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(u)du en posant u=\phi(t) et du={\phi}'(t)dt.

Sommes de Riemann

Si f est une fonction continue sur [a,b] avec a<b et si \sigma =(x_0,...,x_n) est une subdivision de [a,b], on appelle somme de Riemann toute somme S=\sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(y_k)\forall k\in[\![0,n-1]\!]\quad y_k\in[x_k,x_{k+1}].

Si f est continue sur [a,b], toute somme de Riemann sur [a,b] tend vers l'intégrale \int_{a}^{b}f(t)dt quand le pas de la subdivision \sigma tend vers 0.

En particulier : \int_{a}^{b}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right).

Equation différentielle

Si g est une fonction continue sur un intervalle J de primitive G, les fonctions f dérivables sur J qui vérifient \forall x\in J\quad f'(x)=f(x)g(x) sont les fonctions telles que : \exists K\in\mathbb R\quad\forall x\in J\quad f(x)=Ke^{G(x)}.

Prolongement des fonctions de classe C^n

Si f est une fonction de classe C^n sur ]a,b] avec a<b et si f^{(n)} a une limite réelle en a, alors f admet un prolongement de classe C^n sur [a,b].


--CatherineLaidebeure 13 juillet 2010 à 15:03 (CEST)