Identités remarquables

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Identités usuelles

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Généralisation

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

$a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}$

La formule $a^n+b^n$ ne se généralise que si n est impair

$a^n+b^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k$

Formule du binôme de Newton

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^k$ avec $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Propriétés : $\begin{pmatrix} n \\ {n-k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ {k-1} \end{pmatrix}$ si $1\leq k\leq n$