Identités remarquables

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Animations et Manipulations

Pour y voir clair, pour s'entraîner à appliquer toutes ces formules, et vérifier vos calculs, télécharger les animations-manipulations de la fin de cette fiche

Identités usuelles

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Généralisation

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

$a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}$

La formule $a^n+b^n$ ne se généralise que si n est impair

$a^n+b^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k$

Formule du binôme de Newton

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^k$ avec $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Propriétés : $\begin{pmatrix} n \\ {n-k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ {k-1} \end{pmatrix}$ si $1\leq k\leq n$