Identités remarquables

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(MANIPULATIONS & ANIMATIONS)
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(Formule du binôme de Newton)
 
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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un [http://plateforme.sillages.info/modules/execmodule.php?Url=1&idModule=284 résumé complet du programme de mathématiques ECS1] est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.
Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un [http://plateforme.sillages.info/modules/execmodule.php?Url=1&idModule=284 résumé complet du programme de mathématiques ECS1] est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.
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==Animations et Manipulations==
 
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Pour y voir clair, pour s'entraîner à appliquer toutes ces formules, et vérifier vos calculs, télécharger les animations-manipulations de la fin de cette fiche
 
==Identités usuelles==
==Identités usuelles==
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Conséquence :
Conséquence :
<math>\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=2^n</math> et <math>\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=0</math>
<math>\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=2^n</math> et <math>\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=0</math>
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==MANIPULATIONS & ANIMATIONS==
 
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Sont disponibles ici: http://web.mac.com/jacquelinezizi/iWeb/Bonjour/C94E8586-E911-4DF4-BF23-D8DC1D7F6DF7.html
 
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(1) Formule du binôme:
 
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[[Image:Binome.png]]
 
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(2) Identités remarquables, plusieurs animations
 
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[[Image:Image2.png]]
 
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ILLUSTRATIONS-ANIMATIONS fournies par Jacqueline Zizi le 29 octobre 2010.
 
--[[Utilisateur:CatherineLaidebeure|CatherineLaidebeure]] 13 juillet 2010 à 15:03 (CEST)
--[[Utilisateur:CatherineLaidebeure|CatherineLaidebeure]] 13 juillet 2010 à 15:03 (CEST)
[[catégorie:Mathématiques]]
[[catégorie:Mathématiques]]

Version actuelle

Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Identités usuelles

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Généralisation

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})

a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}

La formule a^n+b^n ne se généralise que si n est impair

a^n+b^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k

Formule du binôme de Newton

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^k avec \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Propriétés : \begin{pmatrix} n \\ {n-k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ {k-1} \end{pmatrix} si 1\leq k\leq n

Conséquence : \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=2^n et \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=0


--CatherineLaidebeure 13 juillet 2010 à 15:03 (CEST)