Identités remarquables

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m (Animations et Manipulations)
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==Formule du binôme de Newton==
==Formule du binôme de Newton==
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<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^k</math> avec <math>\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}</math>
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<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^k</math> avec <math>\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}</math> <math> \blacktriangleright \text{ Un exemple } </math> [[Image:BinomeSillage.png]] <math> \text{ Plusieurs :} \blacktriangleright </math> [http://homepage.mac.com/jacquelinezizi/Sites/SillageAnimations/BinomeSillage.html]
Propriétés : <math>\begin{pmatrix} n \\ {n-k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}</math> et <math>\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ {k-1} \end{pmatrix}</math> si <math>1\leq k\leq n</math>
Propriétés : <math>\begin{pmatrix} n \\ {n-k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}</math> et <math>\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ {k-1} \end{pmatrix}</math> si <math>1\leq k\leq n</math>

Version du 6 mai 2012 à 15:23

Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Animations et Manipulations

Pour y voir clair, des animations-manipulations vous sont offertes, en cours de lecture.

Identités usuelles

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Généralisation

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})

a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}

La formule a^n+b^n ne se généralise que si n est impair

a^n+b^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k

Formule du binôme de Newton

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^k avec \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}  \blacktriangleright \text{ Un exemple } Image:BinomeSillage.png  \text{ Plusieurs :} \blacktriangleright  [1]

Propriétés : \begin{pmatrix} n \\ {n-k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ {k-1} \end{pmatrix} si 1\leq k\leq n

Conséquence : \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=2^n et \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=0


--CatherineLaidebeure 13 juillet 2010 à 15:03 (CEST)