Force de pesanteur - Chute libre

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Soit un projectile de masse m lancé avec une vitesse initiale \vec{v}_0 et soumis uniquement à son poids.

  • Système étudié : projectile de masse m assimilable à un point
  • Référentiel : référentiel d'observation (terrestre) supposé galiléen
  • Bilan des forces : le poids \vec{P}=m\vec{g}
  • PFD : m\vec{a}=m\vec{g}
  • Projection : il s'agit de choisir le paramétrage le plus approprié au problème; les coordonnées cartésiennes avec un axe colinéaire à \vec{g} sont, pour la chute libre, les plus appropriées :

Image:chute_libre.png


	\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      a_x=0\\
	      a_y=0\\
	      a_z=-g
	    \end{array}
	  \right.\quad
	  \left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      v_x=v_0\cos\alpha\\
	      v_y=0\\
	      v_z=-gt+v_0\sin\alpha
	    \end{array}
	  \right.\quad
	  \left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x=v_0\cos\alpha\,t\\
	      y=0\\
	      z=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0\sin\alpha\,t
	    \end{array}
	  \right.


Pour trouver l'équation de la trajectoire, il suffit d'éliminer t :

t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}\qquad z=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2+\tan\alpha\,x


Pour trouver la portée, il faut résoudre z=0 :

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x=0\\
	      x=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}
	    \end{array}
	  \right.

maximum pour \alpha=\dfrac{\pi}{4}


Pour trouver la flêche, il faut résoudre v_z=0 :

t=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}\qquad
	  \left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{2g}\\
	      x=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\\
	    \end{array}
	  \right.


Le point ($x_C$,0,$z_C$) est atteint par le projectile pour une vitesse v_0 donnée si x_C et z_C vérifient

z_C=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x_C^2+\tan\alpha\,x_C

ou encore, si \alpha est solution de l'équation

-\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}\tan^2\alpha+x_C\tan\alpha-\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}-z_C=0

c'est-à-dire si

\Delta=x_C^2-4\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}(\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}+z_C)\geq 0

Les points accessibles du plan (Oxz) sont donc situés sous la parabole de sûreté d'équation

z=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2+\dfrac{v_0^2}{2g}



--DamienDecout 3 janvier 2008 à 12:02 (CET)