Fonctions trigonométriques

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Fonction cosinus

La fonction cosinus est définie sur \mathbb R, périodique de période 2\pi et paire.

La fonction cosinus est continue et dérivable sur \mathbb R.

Sa dérivée est définie par : \forall{x\in\mathbb R}\quad (\cos)'(x)=-\sin x.

Elle n’admet pas de limite en +\infty et en -\infty.

\cos x=0\Leftrightarrow x\equiv\dfrac{\pi}{2}\quad(\pi)

\cos a=\cos b\Leftrightarrow a\equiv b\quad(2\pi)\quad\mathrm{ou}\quad a\equiv -b\quad(2\pi)

Fonction Arccosinus

La fonction cosinus réalise une bijection de [0,\pi] dans [-1,1].

Sa réciproque est la fonction Arccosinus.

La fonction Arccosinus est définie sur [-1,1] à valeurs dans [0,\pi].

\forall{x\in[-1,1]}\quad y=\mathrm{Arccos}x\Leftrightarrow x=\cos y\quad\mathrm{et}\quad y\in[0,\pi]

La fonction Arccosinus est continue sur [-1,1] et dérivable sur ]-1,1[.

Sa dérivée est définie par : \forall{x\in]-1,1[}\quad (\mathrm{Arccos})'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.

La fonction Arccosinus est strictement décroissante sur [-1,1].

Fonction sinus

La fonction sinus est définie sur \mathbb R, périodique de période 2\pi et impaire.

La fonction sinus est continue et dérivable sur \mathbb R.

Sa dérivée est définie par : \forall{x\in\mathbb R}\quad (\sin)'(x)=\cos x.

Elle n’admet pas de limite en +\infty et en -\infty. Mais \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.

\sin x=0\Leftrightarrow x\equiv 0\quad(\pi)

\sin a=\sin b\Leftrightarrow a\equiv b\quad(2\pi)\quad\mathrm{ou}\quad a\equiv\pi-b\quad(2\pi)

Fonction Arcsinus

La fonction sinus réalise une bijection de [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] dans [-1,1].

Sa réciproque est la fonction Arcsinus.

La fonction Arcsinus est définie sur [-1,1] à valeurs dans [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}].

\forall{x\in[-1,1]}\quad y=\mathrm{Arcsin}x\Leftrightarrow x=\sin y\quad\mathrm{et}\quad y\in[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]

La fonction Arcsinus est continue sur [-1,1] et dérivable sur ]-1,1[.

Sa dérivée est définie par : \forall{x\in]-1,1[}\quad (\mathrm{Arcsin})'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

La fonction Arcsinus est strictement croissante sur [-1,1].

Fonction tangente

La fonction tangente est définie sur D=\mathbb R-\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi/k\in\mathbb Z\}, périodique de période \pi et impaire.

La fonction tangente est continue et dérivable sur D.

Sa dérivée est définie par : \forall{x\in D}\quad (\tan)'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x.

\tan x=0\Leftrightarrow x\equiv 0\quad(\pi)

\tan a=\tan b\Leftrightarrow a\equiv b\quad(\pi)

Fonction Arctangente

La fonction tangente réalise une bijection de ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[ dans \mathbb R.

Sa réciproque est la fonction Arctangente.

La fonction Arctangente est définie sur \mathbb R à valeurs dans ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[.

\forall{x\in\mathbb R}\quad y=\mathrm{Arctan}x\Leftrightarrow x=\tan y\quad\mathrm{et}\quad y\in]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[.

La fonction Arctangente est continue sur \mathbb R et dérivable sur \mathbb R.

Sa dérivée est définie par : \forall{x\in\mathbb R}\quad (\mathrm{Arctan})'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}.


--CatherineLaidebeure 19 juillet 2010 à 15:33 (CEST)