Espaces probabilisés
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Alors les événements <math>B_i</math> avec <math>B_i=A_i</math> ou <math>B_i=\overline{A_i}</math> sont indépendants. | Alors les événements <math>B_i</math> avec <math>B_i=A_i</math> ou <math>B_i=\overline{A_i}</math> sont indépendants. | ||
- | L’indépendance mutuelle entraîne l’indépendance deux à deux. | + | L’indépendance mutuelle entraîne l’indépendance deux à deux mais la réciproque est fausse. |
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Version du 14 août 2010 à 07:08
Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.
Expérience aléatoire
Il s’agit d’une expérience à laquelle on peut associer l’ensemble
(univers) de tous les résultats
possibles (éventualités).
Evénements
Un événement est une partie de
. Il est réalisé si
.
Si , c’est l’événement impossible.
Si , c’est l’événement certain.
Si n’a qu’un élément (
), c’est un événement élémentaire.
Opérations sur les événements
L’événement est réalisé si
et
sont réalisés.
Si , les événements
et
sont incompatibles.
L’événement est réalisé si
ou
est réalisé.
L’événement est l’événement contraire de l’événement
.
L’événement est réalisé si
est réalisé, mais pas
.
Tribu (ou algèbre) des événements
On appelle tribu (ou -algèbre) d’événements toute partie
de
qui vérifie :
- Pour toute suite
d'éléments de
:
La tribu engendrée par une famille de parties de est la plus
petite tribu contenant cette famille.
Propriétés des tribus
.
- Si
et
sont des éléments de
alors
,
et
.
- Pour toute suite
d'éléments de
:
.
Espace probabilisable
Un espace probabilisable associé à l’expérience aléatoire est la donnée de l’univers
et d’une tribu
d’événements.
Probabilité
Une probabilité sur l'espace probabilisable
est une application de l'ensemble des événements
dans
qui vérifie :
- Pour toute suite
d'éléments de
deux à deux incompatibles :
Propriétés
.
pour tout événement
.
.
.
- Formule du crible :
- Si
est une suite croissante
d'éléments de
, alors
.
- Si
est une suite décroissante
d'éléments de
, alors
.
Espace probabilisé
Un espace probabilisé est la donnée de l’univers
, d’une tribu
d’événements et d’une probabilité
.
Cas d’un univers fini ou dénombrable
Dans le cas où est un univers fini ou dénombrable, on prend en général pour tribu d’événements
.
Si où
est un ensemble fini ou dénombrable, la probabilité
est déterminée par les probabilités des événements élémentaires
:
et si
, alors
où
.
Réciproquement une famille de nombres définit une probabilité sur
si et seulement si :
.
Equiprobabilité dans le cas d’un univers fini
Si est un univers fini, il y a équiprobabilité sur
si tous les événements élémentaires ont même probabilité (tous les
sont égaux).
Alors pour tout événement
.
Probabilité conditionnelle
Soit un espace probabilisé et
un événement de probabilité
. Alors l'application
qui, à tout élément
de
, associe le réel positif
est une probabilité sur
: la probabilité conditionnée par
.
Propriétés :
.
Formule des probabilités composées
si pour tout
, on a
Cas particulier : si
et
Système complet d’événements
est un système complet d'événements s'ils sont deux à deux incompatibles (
), si leur réunion est
et si
.
Cas particulier : un événement et son contraire
.
Formule des probabilités totales
Si est un système complet d'événements :
.
Cas particulier : .
Formule de Bayes
Si est un système complet d'événements :
.
Indépendance de deux événements
et
sont indépendants si
.
Alors et
,
et
,
et
sont aussi indépendants.
Deux tribus et
sont indépendantes si tout élément de
est indépendant de tout élément de
:
.
Indépendance de plusieurs événements
Soit une famille d’événements avec
fini ou dénombrable.
Les événements sont deux à deux indépendants si pour tous
,
et
sont indépendants.
Les événements sont mutuellement indépendants si pour toute partie finie
de
, on a :
.
Alors les événements avec
ou
sont indépendants.
L’indépendance mutuelle entraîne l’indépendance deux à deux mais la réciproque est fausse.
--CatherineLaidebeure 23 juillet 2010 à 08:29 (CEST)