Ensembles

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Inclusion

Un ensemble A est inclus dans un ensemble E (A\subset E) si tout élément de A est élément de E. Alors A est une partie de E.

Si A\subset B et B\subset C alors A\subset C.

A=B\Leftrightarrow A\subset B et B\subset A.

L’ensemble des parties de E est noté \mathcal{P}(E).

Intersection de deux parties de E

A\cap B=\{x\in E\quad/\quad x\in A\quad\matrm{et}\quad x\in B}.

Deux ensembles A et B sont disjoints si A\cap B=\O.

Propriétés :

  • A\cap B=B\cap A
  • (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) noté A\cap B\cap C
  • A\subset B\cap C \Leftrightarrow A\subset B et A\subset C

Réunion de deux parties de E

A\cup B=\{x\in E\quad/\quad x\in A\quad\mathrm{ou}\quad x\in B}.

Propriétés :

  • A\cup B=B\cup A
  • (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C) noté A\cup B\cup C
  • A\cup B\subset C \Leftrightarrow A\subset C et B\subset C

Distributivité

(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)

(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)

Complémentaire

\overline A=\{x\in E\quad/\quad x\notin A}.

Propriétés :

  • \overline{\overline A}=A
  • A\cap\overline A=\O
  • A\cup\overline A=E
  • A\subset B \Leftrightarrow \overline B\subset \overline A

Lois de Morgan :

  • \overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B
  • \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B

Différence de deux parties de E

A-B=\{x\in E\quad/x\in A\quad\mathrm{et}\quad x\notin B}.

Donc A-B=A\cap\overline B

Différence symétrique de deux parties de E

A\bigtriangleup B=\{x\in E\quad / \quad x\in A\quad\mathrm{ou (exclusif)}\quad x\in B}.

Donc A\bigtriangleup B=(A\cup B)-(A\cap B).

Donc A\bigtriangleup B=(A\cup B)\cap(\overline A\cup\overline B)=(A\cap \overline B)\cup(\overline A\cap B).

Partition d'un ensemble E

Des parties A_1, A_2, ..., A_n de E forment une partition de E si :

  • Elles sont deux à deux disjointes : A_i\cap A_j=\O pour tous i\neq j.
  • Leur réunion est E : \bigcup_{i=1}^{n}A_i=E.

Cas particulier : une patie de A et son complémentaire \overline A.

Produit cartésien de deux ensembles

E\times F=\{(x,y)\quad /\quad x\in E\quad\mathrm{et}\quad y\in F}

E^2=\{(x,y)\quad /\quad x\in E\quad\mathrm{et}\quad y\in E}

Par récurrence, on généralise au produit de plusieurs ensembles et E^p est l'ensemble des plistes (x_1, ..., x_p) d'éléments de E.


--CatherineLaidebeure 13 juillet 2010 à 15:03 (CEST)