Ensemble des réels

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Majorants d’une partie

Un réel M est majorant d’une partie A de \mathbb R si : \forall {x\in A}\quad x\leq M.

Tout réel plus grand que M est aussi un majorant de A.

Si M\in A, alors M est le plus grand élément de A, noté Max(A).

Borne supérieure

La borne supérieure de A est le plus petit des majorants de A (s’il existe) :

M= Sup(A)\Leftrightarrow \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            \forall{x\in A} & x\leq M \\
	            \forall{\epsilon >0} & \exists{x\in A}\quad M-\epsilon <x\leq M \\
	          \end{array}
	        \right

M est majorant, mais, pour tout \epsilon >0, M-\epsilon n’est pas majorant

Minorants d’une partie

Un réel m est majorant d’une partie A de \mathbb R si : \forall {x\in A}, x\geq m.

Tout réel plus petit que m est aussi un minorant de A.

Si m\in A, alors m est le plus petit élément de A, noté Min(A).

Borne inférieure

La borne inférieure de A est le plus grand des minorants de A (s’il existe) :

m= Inf(A)\Leftrightarrow \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            \forall{x\in A} & m\leq x \\
	            \forall{\epsilon>0} & \exists{x\in A}\quad m\leq x<m+\epsilon \\
	          \end{array}
	        \right

m est minorant, mais, pour tout \epsilon>0, m+\epsilon n’est pas minorant

Propriété fondamentale de l’ensemble des réels

Toute partie majorée non vide de \mathbb R possède une borne supérieure.

Toute partie minorée non vide de \mathbb R possède une borne inférieure.

Partie entière d’un réel

On appelle partie entière d’un réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Notations : \mathrm{Ent}(x)\quad\mathrm{ou}\quad\lfloor x\rfloor.

Propriété : \forall {x\in\mathbb{R}}\quad \mathrm{Ent}(x)\leq x<\mathrm{Ent}(x)+1.

La fonction partie entière est une fonction en escalier croissante.


--CatherineLaidebeure 19 juillet 2010 à 16:02 (CEST)