Développements limités

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Développement limité en 0

Soit n\in\mathbb N et I un intervalle contenant 0 et non réduit à 0.

Une fonction f définie sur D=I ou D=I-\{0\} admet en 0 un développement limité d’ordre n (on note DL_n(0)) s’il existe un polynôme P_n de degré inférieur ou égal à n tel que : \forall x\in D\quad f(x)=P_n(x)+x^n\epsilon(x) avec \lim_{x\rightarrow 0}\epsilon(x)=0.

C'est équivalent à : f(x)=P_n(x)+o(x^n) au voisinage de 0.

Le polynôme P_n est la partie régulière du DL_n(0).

Développement limité en a

Méthode de calcul : On effectue un changement de variable en posant : h=x-a. On se ramène à la recherche de l’existence d’un DL_n(0) de la fonction g définie par g(h)=f(a+h).

La fonction f admet en a un DL_n(a) s’il existe un polynôme P_n de degré inférieur ou égal à n tel que :

\forall x\in D\quad f(x)=P_n(x-a)+o\left((x-a)^n)\right .

Le polynôme x\mapsto P_n(x-a) est la partie régulière du DL_n(a) .

Développement limité à l’infini

Méthode de calcul : On effectue un changement de variable en posant : h=\dfrac{1}{x}. On est donc ramené à la recherche de l’existence d’un DL_n(0) de la fonction g définie par g(h)=f\left(\dfrac{1}{h}\right).

La fonction f admet à l'infini un DL_n(\infty) s’il existe un polynôme P_n de degré inférieur ou égal à n tel que :

\forall x\in D\quad f(x)=P_n\left(\dfrac{1}{x}\right)+o\left(\left(\dfrac{1}{x}\right)^n\right).

Parfois, l'étude conduit à des termes qui sont des puissances positives de x=\dfrac{1}{h}. On parle alors de développement asymptotique à l'infini.

Propriétés

  • Si f admet un DL_n(a), il est unique.
  • Si f admet un DL_n(a), elle admet des développements limités d’ordre q\leq n et P_q est obtenu en tronquant P_n à l’ordre q (on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à q).
  • Si f est paire (impaire) et si f admet un DL_n(0), alors le polynôme P_n est pair (impair).
  • Si f est définie en a, elle admet un DL_0(a) si et seulement si elle est continue en a. Si f n’est pas définie en a, elle admet un DL_0(a) si et seulement si elle est prolongeable par continuité en a.
  • Si f est définie en a, elle admet un DL_1(a) si et seulement si elle est dérivable en a. Si f n’est pas définie en a, elle admet un DL_1(a) si et seulement si son prolongement par continuité est dérivable en a.
  • Si f admet un DL_n(a) et si la partie régulière P_n n’est pas le polynôme nul, alors : f(x)\underset a\sim P_n(x-a).

Condition suffisante (non nécessaire) d’existence

Si f est une fonction de classe C^n sur un intervalle I contenant a, elle admet un DL_n(a) : f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\left((x-a)^n\right).

Recherche d’une tangente en un point

Si la fonction f admet un DL_1(a), alors l’équation de la tangente au point d’abscisse a est : y=P_1(x-a). La position par rapport à la tangente est donnée par le premier terme suivant non nul du DL de f en a.

Recherche d’une asymptote

On cherche un DL de f à l’infini. Si f(x)=ax+b+\phi(x) avec \lim_{x\rightarrow\infty}\phi(x)=0, la courbe de f admet une asymptote oblique d’équation y=ax+b. La position par rapport à l’asymptote est donnée par le premier terme non nul du DL à l’infini de \phi.

Développements limités usuels en 0

\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)

e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)

\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)

(1+x)^\alpha=1+\dfrac{\alpha}{1!}x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\dfrac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)

\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+...+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})

\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+...+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})

Opérations algébriques

Si f et g admettent des DL_n(a) de parties régulières P_n et Q_n :

  • si \alpha et \beta sont réels, alors \alpha f+\beta g admet DL_n(a) dont la partie régulière est \alpha P_n+\beta Q_n.
  • fg admet DL_n(a) dont la partie régulière est obtenue en tronquant P_nQ_n à l’ordre n.
  • \dfrac{f}{g} admet un DL_n(a) si Q_n(a)\neq 0. Pour l’obtenir, dans le DL_n(a) de g, on met en facteur Q_n(a), ce qui permet d’écrire \dfrac{f}{g}=\dfrac{f}{Q_n(a)}\times\dfrac{1}{1-u} avec \lim_{x\rightarrow a}u=0. Si Q_n(a)=0, on se ramène au cas précédent en factorisant par des puissances de (x-a), mais l’ordre obtenu ne sera pas n.

Composition

Si f admet un DL_n(a), si \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b et si g admet un DL_n(b), alors g\circ f admet un DL_n(a) dont la partie régulière est la troncature d'ordre n de Q_n\circ P_n (composée des parties régulières de g et de f).


--CatherineLaidebeure 28 juillet 2010 à 17:04 (CEST)