Dérivation

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Dérivabilité en un point

La fonction $f$ doit être définie en $a$ et au voisinage de $a$ .

$f$ est dérivable en $a$ si son taux d’accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite réelle en $a$ : $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

La fonction est dérivable à gauche (ou à droite) de $a$ si son taux d’accroissement en $a$ admet une limite réelle à gauche (ou à droite) en $a$ .

Elle est dérivable en $a$ si et seulement si ces deux limites sont égales.

Développement limité d’ordre 1

Si $f$ est dérivable en $a$ , il existe un voisinage $V$ de 0 tel que : $\forall{h\in V}\quad f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h\epsilon(h)$ avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0$ .

Conséquence : Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ (réciproque fausse).

Exemples classiques : Toujours avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0$ :

$\ln(1+h)=h+h\epsilon(h)$

$e^h=1+h+h\epsilon(h)$

$(1+h)^\alpha=1+\alpha h+h\epsilon(h)$

$\sin h=h+h\epsilon(h)$

$\tan h=h+h\epsilon(h)$

$\cos h=1+h\epsilon(h)$

Interprétation géométrique

Si $f$ est dérivable en $a$ , sa courbe représentative admet au point $A$ d’abscisse $a$ une tangente d’équation : $y=(x-a)f'(a)+f(a)$ .

La tangente en A est horizontale si et seulement si $f'(a)=0$ .

Si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ tend vers $\pm\infty$ , sa courbe admet en $A$ une tangente verticale.

Si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet à gauche et à droite des limites réelles différentes, sa courbe admet deux demi-tangentes distinctes à gauche et à droite du point $A$ : le point $A$ est un point « anguleux ».

Si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet à gauche et à droite des limites infinies, sa courbe admet deux demi-tangentes verticales : le point $A$ est soit un point d’ inflexion soit un point de rebroussement.

Dérivabilité sur un intervalle

$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout $\forall{a\in I}$ . Alors sa fonction dérivée est la fonction $x\mapsto\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ .

Dérivées usuelles

$f(x)=c$	$f'(x)=0$
$f(x)=x$	$f'(x)=1$
$f(x)=x^\alpha$	$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$	$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
$f(x)=\sqrt x$	$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\quad\mathrm{si}\quad x\neq 0$
$f(x)=\ln x$	$f'(x)=\dfrac{1}{x}$
$f(x)=e^x$	$f'(x)=e^x$
$f(x)=\sin x$	$f'(x)=\cos x$
$f(x)=\cos x$	$f'(x)=-\sin x$
$f(x)=\tan x$	$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2 x$
$f(x)=\cot x$	$f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2x}=-1-\cot^2 x$
$f(x)=\mathrm{Arcsin}x$	$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\quad x\neq\pm 1$
$f(x)=\mathrm{Arccos}x$	$f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\quad x\neq\pm 1$
$f(x)=\mathrm{Arctan}x$	$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$

Opérations

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur l’intervalle $I$ et si $k$ est une constante, alors $u+v$ , $uv$ et $ku$ sont dérivables sur $I$ , et $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ privé des points où $v$ s’annule.

$(u+v)'=u'+v'$

$(uv)'=u'v+uv'$

$(ku)'=ku'$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Si $u$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et si $v$ est dérivable sur $u(I)$ , alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ : $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$ .

$\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$

$(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$

$(u^\alpha)'=\alpha u'u^{\alpha-1}$

$(e^u)'=u'e^u$

$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$

$(\sin u)'=u'\cos u$

$(\cos u)'=-u'\sin u$ ...

Si $u$ est dérivable et bijective de l’intervalle $I$ dans l’intervalle $u(I)$ , sa réciproque $u^{-1}$ est dérivable sur $u(I)-\{u(x)/u'(x)=0\}$ et $(u^{-1})'=\dfrac{1}{u'\circ u^{-1}}$ .

Sens de variation

Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $\forall{x\in I}\quad f'(x)=0$ .

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $\forall{x\in I}\quad f'(x)\geq 0$ .

$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $\forall{x\in I}\quad f'(x)\leq 0$ .

Si $\forall{x\in I}\quad f'(x)>0$ (sauf peut-être en un nombre fini de

points), $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Si $\forall{x\in I}\quad f'(x)<0$ (sauf peut-être en un nombre fini de

points), $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

Extremum local

Une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ admet un extremum local en $a\in I$ si et seulement si sa dérivée $f'$ s’annule en changeant de signe en $a$ .

Dérivée d’ordre n

Sous réserve d'existence : $f^{(0)}=f\quad\mathrm{et}\quad\forall{n\in\mathbb N}\quad f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$ .

Classes de fonctions

Sur un intervalle $I$ , une fonction $f$ est :

de classe $D^n$ si elle est dérivable $n$ fois sur $I$ .

de classe $C^n$ si elle est dérivable $n$ fois et si $f^{(n)}$ est continue sur $I$ .

de classe $C^{\infty}$ si elle est infiniment dérivable sur $I$ (elle admet des dérivées de tout ordre).

Formule de Leibniz : $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}u^{(k)}v^{(n-k)}$ si $u$ et $v$ sont de classe $D^n$ .

Les fonctions polynômes, rationnelles, logarithme, exponentielle, trigonométriques sont de classe $C^{\infty}$ sur leur ensemble de définition.

Les fonctions $x\mapsto x^\alpha$ sont de classe $C^1$ sur leur ensemble de définition si $\alpha\leq 0$ ou $\alpha\geq 1$ , et sur $]0,+\infty[$ si $0<\alpha<1$ (donc en particulier $x\mapsto\sqrt x$ ). La fonction $x\mapsto|x|$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb R^*$

Prolongement de la dérivée

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ , de classe $C^1$ sur $]a,b]$ et si sa dérivée $f'$ admet une limite réelle en $a$ , alors $f$ est de classe $C^1$ sur $[a,b]$ .

Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ .

Si $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)=\infty$ , la fonction $f$ n’est pas dérivable en $a$ , et la courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse $a$ .