Dérivation

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Dérivabilité en un point

La fonction $f$ doit être définie en $a$ et au voisinage de $a$ .

$f$ est dérivable en $a$ si son taux d’accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite réelle en $a$ : $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

La fonction est dérivable à gauche ou à droite de $a$ si son taux d’accroissement en $a$ admet une limite réelle à gauche ou à droite.

Elle est dérivable en $a$ ssi ces deux limites sont égales.

Développement limité d’ordre 1

Si $f$ est dérivable en $a$ , il existe un voisinage $V$ de 0 tel que : $\forall{h\in V}\quad f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h\epsilon(h)$ avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0$ .

Conséquence : Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ (réciproque fausse).

Exemples classiques : Toujours avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0$ :

$\ln(1+h)=h+h\epsilon(h)$

$e^h=1+h+h\epsilon(h)$

$(1+h)^\alpha=1+\alpha h+h\epsilon(h)$

$\sin h=h+h\epsilon(h)$

$\tan h=h+h\epsilon(h)$

$\cos h=1+h\epsilon(h)$

Interprétation géométrique

Si $f$ est dérivable en $a$ , sa courbe représentative admet au point $A$ d’abscisse $a$ une tangente d’équation : $y=(x-a)f'(a)+f(a)$ .

La tangente en A est horizontale si et seulement si $f'(a)=0$ .

Si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ tend vers $\pm\infty$ , sa courbe admet en $A$ une tangente verticale.

Si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet à gauche et à droite des limites réelles différentes, sa courbe admet deux demi-tangentes distinctes à gauche et à droite du point $A$ : le point $A$ est un point « anguleux ».

Si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet à gauche et à droite des limites infinies, sa courbe admet deux demi-tangentes verticales : le point $A$ est soit un point d’ inflexion soit un point de rebroussement.

Dérivabilité sur un intervalle

$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout $\forall{a\in I}$ . Alors sa fonction dérivée est la fonction $x\mapsto\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ .

Dérivées usuelles

$f(x)=c$	$f'(x)=0$
$f(x)=x$	$f'(x)=1$
$f(x)=x^\alpha$	$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$	$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
$f(x)=\sqrt x$	$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\quad\mathrm{si}\quad x\neq 0$
$f(x)=\ln x$	$f'(x)=\dfrac{1}{x}$
$f(x)=e^x$	$f'(x)=e^x$
$f(x)=\sin x$	$f'(x)=\cos x$
$f(x)=\cos x$	$f'(x)=-\sin x$
$f(x)=\tan x$	$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2 x$
$f(x)=\cot x$	$f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2x}=-1-\cot^2 x$
$f(x)=\mathrm{Arcsin}x$	$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\quad x\neq\pm 1$
$f(x)=\mathrm{Arccos}x$	$f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\quad x\neq\pm 1$
$f(x)=\mathrm{Arctan}x$	$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$

Opérations

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur l’intervalle $I$ et si $k$ est une constante, alors $u+v$ , $uv$ et $ku$ sont dérivables sur $I$ , et $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ privé des points où $v$ s’annule.

$(u+v)'=u'+v'$

$(uv)'=u'v+uv'$

$(ku)'=ku'$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Si $u$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et si $v$ est dérivable sur $u(I)$ , alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ : $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$ .

$\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$

$(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$

$(u^\alpha)'=\alpha u'u^{\alpha-1}$

$(e^u)'=u'e^u$

$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$

$(\sin u)'=u'\cos u$

$(\cos u)'=-u'\sin u$ ...

Si $u$ est dérivable et bijective de l’intervalle $I$ dans l’intervalle $u(I)$ et sa réciproque $u^{-1}$ est dérivable sur $u(I)-\{u(x)/u'(x)=0\}$ et $(u^{-1})'=\dfrac{1}{u'\circ u^{-1}}$ .