Dérivation
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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.
Dérivabilité en un point
La fonction doit être définie en
et au voisinage de
.
est dérivable en
si son taux d’accroissement
a une limite réelle en
:
.
La fonction est dérivable à gauche ou à droite de si son taux d’accroissement en
admet une limite réelle à gauche ou à droite.
Elle est dérivable en ssi ces deux limites sont égales.
Développement limité d’ordre 1
Si est dérivable en
, il existe un voisinage
de 0 tel que :
avec
.
Conséquence : Toute fonction dérivable en est continue en
(réciproque fausse).
Exemples classiques : Toujours avec :
Interprétation géométrique
- Si
est dérivable en
, sa courbe représentative admet au point
d’abscisse
une tangente d’équation :
.
La tangente en A est horizontale si et seulement si .
- Si le taux d’accroissement de
en
tend vers
, sa courbe admet en
une tangente verticale.
- Si le taux d’accroissement de
en
admet à gauche et à droite des limites réelles différentes, sa courbe admet deux demi-tangentes distinctes à gauche et à droite du point
: le point
est un point « anguleux ».
- Si le taux d’accroissement de
en
admet à gauche et à droite des limites infinies, sa courbe admet deux demi-tangentes verticales : le point
est soit un point d’ inflexion soit un point de rebroussement.
Dérivabilité sur un intervalle
est dérivable sur un intervalle
si
est dérivable en tout
. Alors sa fonction dérivée est la fonction
.
Toute fonction dérivable sur est continue sur
.
Dérivées usuelles
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Opérations
- Si
et
sont dérivables sur l’intervalle
et si
est une constante, alors
,
et
sont dérivables sur
, et
est dérivable sur
privé des points où
s’annule.
- Si
est dérivable sur l’intervalle
et si
est dérivable sur
, alors
est dérivable sur
:
.
...
- Si
est dérivable et bijective de l’intervalle
dans l’intervalle
et sa réciproque
est dérivable sur
et
.
Sens de variation
Si est une fonction dérivable sur un intervalle
:
est constante sur
si et seulement si
.
est croissante sur
si et seulement si
.
est décroissante sur
si et seulement si
.
- Si
(sauf peut-être en un nombre fini de
points), est strictement croissante sur
.
- Si
(sauf peut-être en un nombre fini de
points), est strictement décroissante sur
.
Extremum local
en cours
Dérivée d’ordre n
en cours
Classes de fonctions
en cours
Prolongement de la dérivée
en cours
Théorème de Rolle
en cours
Egalité des accroissements finis
en cours
Inégalités des accroissements finis
en cours
--CatherineLaidebeure 27 juillet 2010 à 09:08 (CEST)