Dérivation

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Dérivabilité en un point

La fonction f doit être définie en a et au voisinage de a.

f est dérivable en a si son taux d’accroissement \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} a une limite réelle en a : f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

La fonction est dérivable à gauche ou à droite de a si son taux d’accroissement en a admet une limite réelle à gauche ou à droite.

Elle est dérivable en a ssi ces deux limites sont égales.

Développement limité d’ordre 1

Si f est dérivable en a, il existe un voisinage V de 0 tel que : \forall{h\in V}\quad f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h\epsilon(h) avec \lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0.

Conséquence : Toute fonction dérivable en a est continue en a (réciproque fausse).

Exemples classiques : Toujours avec \lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0 :

\ln(1+h)=h+h\epsilon(h)

e^h=1+h+h\epsilon(h)

(1+h)^\alpha=1+\alpha h+h\epsilon(h)

\sin h=h+h\epsilon(h)

\tan h=h+h\epsilon(h)

\cos h=1+h\epsilon(h)

Interprétation géométrique

en cours

Dérivabilité sur un intervalle

en cours

Dérivées usuelles

en cours

Opérations

en cours

Sens de variation

en cours

Extremum local

en cours

Dérivée d’ordre n

en cours

Classes de fonctions

en cours

Prolongement de la dérivée

en cours

Théorème de Rolle

en cours

Egalité des accroissements finis

en cours

Inégalités des accroissements finis

en cours


--CatherineLaidebeure 27 juillet 2010 à 09:08 (CEST)