Dérivation
Un article de wiki sillages.info.
(→Sens de variation) |
(→Inégalités des accroissements finis) |
||
(26 révisions intermédiaires masquées) | |||
Ligne 8 : | Ligne 8 : | ||
<math>f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>. | <math>f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>. | ||
- | La fonction est dérivable à gauche ou à droite de <math>a</math> si son taux d’accroissement en <math>a</math> admet une limite réelle à gauche ou à droite. | + | La fonction est dérivable à gauche (ou à droite) de <math>a</math> si son taux d’accroissement en <math>a</math> admet une limite réelle à gauche (ou à droite) en <math>a</math>. |
- | Elle est dérivable en <math>a</math> | + | Elle est dérivable en <math>a</math> si et seulement si ces deux limites sont égales. |
==Développement limité d’ordre 1== | ==Développement limité d’ordre 1== | ||
Ligne 46 : | Ligne 46 : | ||
==Dérivabilité sur un intervalle== | ==Dérivabilité sur un intervalle== | ||
- | <math>f</math> est dérivable sur un intervalle <math>I</math> si <math>f</math> est dérivable en tout <math> | + | <math>f</math> est dérivable sur un intervalle <math>I</math> si <math>f</math> est dérivable en tout <math>a\in I</math>. Alors sa fonction dérivée est la fonction <math>f'</math> définie par : <math>\forall x\in I\quad f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>. |
- | Toute fonction dérivable sur <math>I</math> est continue sur <math>I</math>. | + | Toute fonction dérivable sur <math>I</math> est continue sur <math>I</math> (réciproque fausse). |
==Dérivées usuelles== | ==Dérivées usuelles== | ||
- | {| border="1" cellspacing="0" cellpadding=" | + | {| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10" align="center" |
| <math>f(x)=c</math> | | <math>f(x)=c</math> | ||
| <math>f'(x)=0</math> | | <math>f'(x)=0</math> | ||
Ligne 66 : | Ligne 66 : | ||
|- | |- | ||
| <math>f(x)=\sqrt x</math> | | <math>f(x)=\sqrt x</math> | ||
- | | <math>f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\quad\mathrm{si}\quad x | + | | <math>f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\quad\mathrm{si} \quad x>0</math> |
|- | |- | ||
| <math>f(x)=\ln x</math> | | <math>f(x)=\ln x</math> | ||
Ligne 87 : | Ligne 87 : | ||
|- | |- | ||
| <math>f(x)=\mathrm{Arcsin}x</math> | | <math>f(x)=\mathrm{Arcsin}x</math> | ||
- | | <math>f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\ | + | | <math>f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\smallquad -1<x<1</math> |
|- | |- | ||
| <math>f(x)=\mathrm{Arccos}x</math> | | <math>f(x)=\mathrm{Arccos}x</math> | ||
- | | <math>f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\ | + | | <math>f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\mathrm{si}\smallquad -1<x<1</math> |
|- | |- | ||
| <math>f(x)=\mathrm{Arctan}x</math> | | <math>f(x)=\mathrm{Arctan}x</math> | ||
Ligne 124 : | Ligne 124 : | ||
<math>(\cos u)'=-u'\sin u</math> ... | <math>(\cos u)'=-u'\sin u</math> ... | ||
- | *Si <math>u</math> est dérivable et bijective de l’intervalle <math>I</math> dans l’intervalle <math>u(I)</math> | + | *Si <math>u</math> est dérivable et bijective de l’intervalle <math>I</math> dans l’intervalle <math>u(I)</math>, sa réciproque <math>u^{-1}</math> est dérivable sur <math>u(I)-\{u(x)/u'(x)=0\}</math> et <math>(u^{-1})'=\dfrac{1}{u'\circ u^{-1}}</math>. |
==Sens de variation== | ==Sens de variation== | ||
Ligne 144 : | Ligne 144 : | ||
==Extremum local== | ==Extremum local== | ||
- | en | + | Une fonction <math>f</math> dérivable sur un intervalle ouvert <math>I</math> admet un extremum local en <math>a\in I</math> si et seulement si sa dérivée <math>f'</math> s’annule en <math>a</math> en changeant de signe. |
==Dérivée d’ordre n== | ==Dérivée d’ordre n== | ||
- | + | Sous réserve d'existence : <math>f^{(0)}=f\quad\mathrm{et}\quad\forall{n\in\mathbb N}\quad f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'</math>. | |
==Classes de fonctions== | ==Classes de fonctions== | ||
- | en | + | Sur un intervalle <math>I</math>, une fonction <math>f</math> est : |
+ | |||
+ | *de classe <math>D^n</math> si elle est dérivable <math>n</math> fois sur <math>I</math>. | ||
+ | |||
+ | *de classe <math>C^n</math> si elle est dérivable <math>n</math> fois et si <math>f^{(n)}</math> est continue sur <math>I</math>. | ||
+ | |||
+ | *de classe <math>C^{\infty}</math> si elle est infiniment dérivable sur <math>I</math> (elle admet des dérivées de tout ordre). | ||
+ | |||
+ | ''Formule de Leibniz'' : <math>(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}u^{(k)}v^{(n-k)}</math> si <math>u</math> et <math>v</math> sont de classe <math>D^n</math>. | ||
+ | |||
+ | Les fonctions polynômes, rationnelles, logarithme, exponentielle, | ||
+ | trigonométriques sont de classe <math>C^{\infty}</math> sur leur ensemble de définition. | ||
+ | |||
+ | Les fonctions <math>x\mapsto x^\alpha</math> sont de classe <math>C^1</math> sur leur ensemble de définition si <math>\alpha\leq 0</math> ou <math>\alpha\geq 1</math>, et sur <math>]0,+\infty[</math> si <math>0<\alpha<1</math> (donc en particulier <math>x\mapsto\sqrt x</math>). La fonction <math>x\mapsto|x|</math> est de classe <math>C^{\infty}</math> sur <math>\mathbb R^*</math> | ||
==Prolongement de la dérivée== | ==Prolongement de la dérivée== | ||
- | en | + | Si <math>f</math> est continue sur <math>[a,b]</math>, de classe <math>C^1</math> sur <math>]a,b]</math> et si sa dérivée <math>f'</math> admet une limite réelle en <math>a</math>, alors <math>f</math> est de classe <math>C^1</math> sur <math>[a,b]</math>. |
+ | |||
+ | Donc <math>f</math> est dérivable en <math>a</math> et <math>f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | Si <math>\lim_{x\rightarrow a}f'(x)=\infty</math>, la fonction <math>f</math> n’est pas dérivable en <math>a</math>, et la courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse <math>a</math>. | ||
==Théorème de Rolle== | ==Théorème de Rolle== | ||
- | + | Si <math>f</math> est continue sur <math>[a,b]</math> et dérivable sur <math>]a,b[</math>, et si <math>f(a)=f(b)</math>, alors il existe <math>c\in]a,b[</math> tel que <math>f'(c)=0</math>. | |
==Egalité des accroissements finis == | ==Egalité des accroissements finis == | ||
- | + | Si <math>f</math> est continue sur <math>[a,b]</math> et dérivable sur <math>]a,b[</math>, alors il existe <math>c\in]a,b[</math> tel que <math>f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)</math>. | |
==Inégalités des accroissements finis== | ==Inégalités des accroissements finis== | ||
- | + | Si <math>f</math> est dérivable sur un intervalle <math>I</math> et si <math>a\in I</math> et <math>b\in I</math> : | |
+ | |||
+ | ''Première inégalité'' (si <math>a\leq b</math>) | ||
+ | |||
+ | Si <math>\forall{x\in[a,b]}\quad m\leq f'(x)\leq M</math>, alors : <math>m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)</math>. | ||
+ | |||
+ | ''Deuxième inégalité'' (<math>a</math> et <math>b</math> quelconques dans <math>I</math>) | ||
+ | |||
+ | Si <math>\forall{x\in I}\quad|f'(x)|\leq M</math>, alors : <math>|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|</math>. | ||
+ | |||
--[[Utilisateur:CatherineLaidebeure|CatherineLaidebeure]] 27 juillet 2010 à 09:08 (CEST) | --[[Utilisateur:CatherineLaidebeure|CatherineLaidebeure]] 27 juillet 2010 à 09:08 (CEST) | ||
[[catégorie:Mathématiques]] | [[catégorie:Mathématiques]] |
Version actuelle
Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.
Dérivabilité en un point
La fonction doit être définie en
et au voisinage de
.
est dérivable en
si son taux d’accroissement
a une limite réelle en
:
.
La fonction est dérivable à gauche (ou à droite) de si son taux d’accroissement en
admet une limite réelle à gauche (ou à droite) en
.
Elle est dérivable en si et seulement si ces deux limites sont égales.
Développement limité d’ordre 1
Si est dérivable en
, il existe un voisinage
de 0 tel que :
avec
.
Conséquence : Toute fonction dérivable en est continue en
(réciproque fausse).
Exemples classiques : Toujours avec :
Interprétation géométrique
- Si
est dérivable en
, sa courbe représentative admet au point
d’abscisse
une tangente d’équation :
.
La tangente en A est horizontale si et seulement si .
- Si le taux d’accroissement de
en
tend vers
, sa courbe admet en
une tangente verticale.
- Si le taux d’accroissement de
en
admet à gauche et à droite des limites réelles différentes, sa courbe admet deux demi-tangentes distinctes à gauche et à droite du point
: le point
est un point « anguleux ».
- Si le taux d’accroissement de
en
admet à gauche et à droite des limites infinies, sa courbe admet deux demi-tangentes verticales : le point
est soit un point d’ inflexion soit un point de rebroussement.
Dérivabilité sur un intervalle
est dérivable sur un intervalle
si
est dérivable en tout
. Alors sa fonction dérivée est la fonction
définie par :
.
Toute fonction dérivable sur est continue sur
(réciproque fausse).
Dérivées usuelles
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Opérations
- Si
et
sont dérivables sur l’intervalle
et si
est une constante, alors
,
et
sont dérivables sur
, et
est dérivable sur
privé des points où
s’annule.
- Si
est dérivable sur l’intervalle
et si
est dérivable sur
, alors
est dérivable sur
:
.
...
- Si
est dérivable et bijective de l’intervalle
dans l’intervalle
, sa réciproque
est dérivable sur
et
.
Sens de variation
Si est une fonction dérivable sur un intervalle
:
est constante sur
si et seulement si
.
est croissante sur
si et seulement si
.
est décroissante sur
si et seulement si
.
- Si
(sauf peut-être en un nombre fini de
points), est strictement croissante sur
.
- Si
(sauf peut-être en un nombre fini de
points), est strictement décroissante sur
.
Extremum local
Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert
admet un extremum local en
si et seulement si sa dérivée
s’annule en
en changeant de signe.
Dérivée d’ordre n
Sous réserve d'existence : .
Classes de fonctions
Sur un intervalle , une fonction
est :
- de classe
si elle est dérivable
fois sur
.
- de classe
si elle est dérivable
fois et si
est continue sur
.
- de classe
si elle est infiniment dérivable sur
(elle admet des dérivées de tout ordre).
Formule de Leibniz : si
et
sont de classe
.
Les fonctions polynômes, rationnelles, logarithme, exponentielle,
trigonométriques sont de classe sur leur ensemble de définition.
Les fonctions sont de classe
sur leur ensemble de définition si
ou
, et sur
si
(donc en particulier
). La fonction
est de classe
sur
Prolongement de la dérivée
Si est continue sur
, de classe
sur
et si sa dérivée
admet une limite réelle en
, alors
est de classe
sur
.
Donc est dérivable en
et
.
Si , la fonction
n’est pas dérivable en
, et la courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse
.
Théorème de Rolle
Si est continue sur
et dérivable sur
, et si
, alors il existe
tel que
.
Egalité des accroissements finis
Si est continue sur
et dérivable sur
, alors il existe
tel que
.
Inégalités des accroissements finis
Si est dérivable sur un intervalle
et si
et
:
Première inégalité (si )
Si , alors :
.
Deuxième inégalité ( et
quelconques dans
)
Si , alors :
.
--CatherineLaidebeure 27 juillet 2010 à 09:08 (CEST)