Couples de variables aléatoires
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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.
On pourra au préalable consulter l'article sur les variables aléatoires discrètes.
Loi conjointe d’un couple (X,Y) de variables aléatoires discrètes
Si et
, la loi conjointe est définie par :
.
Propriétés : .
Lois marginales d’un couple (X,Y) de variables discrètes
Ce sont les lois de et de
. On les déduit de la loi conjointe :
Loi de :
.
Loi de :
.
Lois conditionnelles de variables discrètes
La loi conditionnelle de sachant (
est définie par les probabilités
pour tout
.
La loi conditionnelle de sachant (
est définie par les probabilités
pour tout
.
On peut en déduire la loi conjointe :
On peut en déduire les lois marginales :
.
.
Loi de Z=f(X,Y) si les variables X et Y sont discrètes
Si et si l'on note :
alors :
.
Théorème de transfert :
Si , alors sous réserve d'existence :
.
Exemples :
.
.
Somme de deux variables aléatoires discrètes
Il y a deux manières de déterminer sa loi :
Espérance :
Variance :
Covariance du couple (X,Y)
Propriété :
Inégalité de Schwarz :
Si on dit que
et
sont non corrélées.
Coefficient de corrélation linéaire du couple (X,Y)
Propriété :
Plus est voisin de 1, plus la corrélation de
et
est forte.
Indépendance de deux variables aléatoires discrètes
et
sont indépendantes si :
Propriétés : Si et
sont indépendantes :
Indépendance de n variables aléatoires discrètes
Les variables aléatoires discrètes sont mutuellement indépendantes si :
Alors toute fonction des variables est indépendante de toute fonction des variables
.
Propriété :
si les variables sont indépendantes.
--CatherineLaidebeure 29 juillet 2010 à 13:32 (CEST)