Coordonnées sphériques

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Coordonnées et base

Image:coord_spheriques.png

Les Coordonnées sphériques sont définies par

  • r=\|\vec{OM}\|\qquad\ \mathrm{avec}\ r\in [0,+\infty[
  • \theta=(\widehat{\vec{e}_z,\vec{OM}})\qquad\ \mathrm{avec}\ \theta\in [0,\pi]
  • \varphi=(\widehat{\vec{e}_x,\vec{OH}})\qquad\ \mathrm{avec}\  \varphi\in [0,2\pi]

et définissent de façon unique la position de M



r=cte défini une sphère de rayon r

\theta=cte défini un cône d'axe \vec{e}_z et d'angle \theta

\varphi=cte défini un plan (\vec{e}_z,\vec{OH})

r=cte\ \mathrm{et}\ \theta=cte défini un cercle de rayon r\sin\theta dans le plan z=r\cos\theta

r=cte\ \mathrm{et}\ \varphi=cte défini un cercle de rayon r dans le plan (\vec{e}_z,\vec{OH})

\theta=cte\ \mathrm{et}\ \varphi=cte défini une demi-droite



La base cylindrique est définie par

  • \vec{e}_r=\dfrac{\vec{OM}}{OM}
  • \vec{e}_\theta est obtenu à partir du vecteur \vec{e}_r en tournant de \pi/2 dans le sens des \theta croissant (dans le plan (\vec{e}_z,\vec{OH}))
  • \vec{e}_\varphi=\vec{e}_r\wedge\vec{e}_\theta



Vecteur position

Le vecteur position s'écrit dans la base sphérique :

\boxed{\vec{OM}=r\,\vec{e}_r}

En mécanique, lorsque M se déplace, r,\ \theta\ \mathrm{et}\ \varphi sont des fonctions du temps et on devrait écrire r(t),\ \theta(t)\ \mathrm{et}\ \varphi(t)

Les vecteurs de la base varient aussi lorsque M se déplace et dépendent donc du temps; c'est important de le savoir lorsque l'on veut calculer par exemple les vecteurs vitesse et accélération et plus généralement chaque fois que l'on dérive par rapport au temps.



Relation entre paramétrage sphérique et paramétrage cartésien

--DamienDecout 2 janvier 2008 à 08:30 (CET)