Coordonnées polaires et cylindriques

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Coordonnées et base

Image:coord_cylindriques.png

Les coordonnées cylindriques sont définies par

  • r=\|\vec{OH}\|=OH>0\qquad\mathrm{avec}\quad r\in[0,+\infty[
  • \theta=(\widehat{\vec{e}_x,\vec{OH}})\qquad\mathrm{avec}\quad \theta\in [0,2\pi]

et définissent de façon unique la position de M


Dans un plan, on utilisera les coordonnées polaires (r,\theta)


r=cte défini un cylindre de rayon r (un cercle en coordonnées polaires)

\theta=cte défini un demi plan perpendiculaire au plan (\vec{e}_x,\vec{e}_y) (une demi droite en coordonnées polaires)

z=cte défini un plan parallèle au plan (\vec{e}_x,\vec{e}_y)


La base cylindrique est définie par

  • \vec{e}_r=\dfrac{\vec{OH}}{OH}
  • \vec{e}_\theta s'obtient en tournant de \pi/2 dans le sens des \theta croissant


Dans un plan, on utilisera la base polaire (\vec{e}_r,\vec{e}_\theta)



Vecteur position

Le vecteur position s'écrit dans la base cylindrique

\boxed{\vec{OM}=r\,\vec{e}_r+z\,\vec{e}_z}

et dans la base polaire

\boxed{\vec{OM}=r\,\vec{e}_r}


En mécanique, lorsque M se déplace, r,\ \theta\ \mathrm{et}\ z sont des fonctions du temps et on devrait écrire r(t),\ \theta(t)\ \mathrm{et}\ z(t)

Les vecteurs de la base varient aussi lorsque M se déplace et dépendent donc du temps; c'est important de le savoir lorsque l'on veut calculer par exemple les vecteurs vitesse et accélération et plus généralement chaque fois que l'on dérive par rapport au temps.



Relations entre paramétrage cylindrique ou polaire et paramétrage cartésien

r=\sqrt{x^2+y^2}

\tan\theta=\dfrac{y}{x}

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

\vec{e}_r=\cos\theta\,\vec{e}_x+\sin\theta\,\vec{e}_y

\vec{e}_\theta=-\sin\theta\,\vec{e}_x+\cos\theta\,\vec{e}_y

\vec{e}_x=\cos\theta\,\vec{e}_r-\sin\theta\,\vec{e}_\theta

\vec{e}_y=\sin\theta\,\vec{e}_r+\cos\theta\,\vec{e}_\theta


On remarque en particulier que

\vec{e}_\theta=\dfrac{d\vec{e}_r}{d\theta}

ou encore

\boxed{\dfrac{d\vec{e}_r}{dt}=\dfrac{d\vec{e}_r}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta}

On pourra vérifier que

\boxed{\dfrac{d\vec{e}_\theta}{dt}=-\dot{\theta}\,\vec{e}_r}



--DamienDecout 1 janvier 2008 à 18:48 (CET)