Chute libre avec frottement

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Chute libre avec frottement proportionnel à la vitesse

Il faut rajouter au problème de la chute libre la force -k\vec{v} :

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      a_x=-\dfrac{k}{m}v_x=\dfrac{dv_x}{dt}\\
	      a_z=-g-\dfrac{k}{m}v_z=\dfrac{dv_z}{dt}
	    \end{array}
	  \right.


On pose \lambda=\dfrac{k}{m} et on intègre (pour v_z changement de variable u=g+\lambda v_z) :

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      \dfrac{dv_x}{v_x}=-\lambda dt\\
	      \dfrac{\lambda dv_z}{g+\lambda v_z}=-\lambda dt
	    \end{array}
	  \right.
	  \left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      \ln\left(\dfrac{v_x}{v_0\cos\alpha}\right)=-\lambda(t-0)\\
	      \ln\left(\dfrac{g+\lambda v_z}{g+\lambda
	      v_0\sin\alpha}\right)=-\lambda(t-0)
	    \end{array}
	  \right.

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      v_x=(v_0\cos\alpha)\exp(-\lambda t)\\
	      v_z=(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}
	    \end{array}
	  \right.


Pour v_z on aurait pu résoudre l'équation différentielle avec second membre :

\dfrac{dv_z}{dt}+\lambda v_z=-g

dont la solution est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (équation homogène) et de la solution particulière de l'équation avec second membre :

v_z=C\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}

On utilise les conditions initiales (sur la somme solution générale de l'équation sans second membre + solution particulière de l'équation avec second membre) :

v_z(t=0)=C-\dfrac{g}{\lambda}=v_0\sin\alpha

et on retrouve le même résultat.


On intègre une deuxième fois pour trouver x et z :

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x=-\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\exp(-\lambda t)+A\\
	      z=-\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}\exp(-\lambda
	      t)-\dfrac{g}{\lambda}t+B
	    \end{array}
	  \right.

Avec les conditions initiales x=0 et z=0, on a finalement :

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x=\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}(1-\exp(-\lambda t))\\
	      z=\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}(1-\exp(-\lambda
	      t))-\dfrac{g}{\lambda}t
	    \end{array}
	  \right.


Lorsque t\to\infty :

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      x\to\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\quad \mathrm{(assymptote)}\\
	      z\to-\infty
	    \end{array}
	  \right.\quad\ \mathrm{et}\quad
	  \left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	      v_x\to 0\\
	      v_z\to-\dfrac{g}{\lambda}=-\dfrac{mg}{k}=v_{lim}
	    \end{array}
	  \right.

Pour que la vitesse limite soit atteinte, il ne faut pas que le projectile atteigne trop vite le sol.

La vitesse limite est en fait la solution particulière de l'équation :

m\dfrac{d\vec{v}}{dt}+k\vec{v}=m\vec{g}

En effet lorsque la vitesse limite est atteinte :

\dfrac{d\vec{v}}{dt}=0

et

\vec{v}_{lim}=\dfrac{m\vec{g}}{k}



Chute libre avec frottement proportionnel au carré de la vitesse

Il faut rajouter au problème de la chute libre la force -kv\vec{v} :

\left\lbrace
	    \begin{array}{l}
	     m\dfrac{dv_x}{dt}=-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_x\\
	     m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_z
	    \end{array}
	  \right.

Ce système d'équations différentielles couplées n'admet pas de solution analytique (résolution numérique) sauf dans le cas particulier du mouvement vertical :

m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_z^2}\,v_z



--DamienDecout 3 janvier 2008 à 12:28 (CET)