Calcul algébrique

Un article de wiki sillages.info.

Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

Sommaire

Fractions

\dfrac{a}{b} est défini si et seulement si b\not=0

\dfrac{a}{b}=0\Leftrightarrow a=0

\mathrm{Sgn}\left(\dfrac{a}{b}\right)=\mathrm{Sgn}(ab)

\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}

\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}

\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}

\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{ac}{b}

\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{bc}

\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{ac}{b}

Puissances

a^0=1

a^n=a\times ...a\times a (n fois) si n\in\mathbb{N}^*

a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

a^b=e^{b\ln a} si a>0

a^b\times a^c=a^{b+c}

\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}

(a^b)^c=a^{bc}

a^c\times b^c=(ab)^c

\dfrac{a^c}{b^c}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^c

Inégalités

Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur différence : a<b\Leftrightarrow b-a>0

a<b et b<c\Rightarrow a<c (on note a<b<c)

a<b et a'<b'\Rightarrow a+a'<b+b'

0<a<b et 0<a'<b'\Rightarrow 0<aa'<bb'

a<b\Rightarrow a+c<b+c

a<b\Rightarrow \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            ac<bc & \quad \mathrm{si}\quad c>0 \\
	            ac>bc & \quad \mathrm{si}\quad c<0  \\
	          \end{array}
	        \right

Racines carrées

\sqrt a est l'unique solution positive de l'équation x^2=a

\sqrt a est défini si et seulement si a\geq 0

\sqrt a\geq 0

\left(\sqrt a\right)^2=a

\sqrt {a^2}=|a|

\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b si a\geq 0 et b\geq 0

\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b} si a\geq 0 et b>0

\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b mais en général \sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b

0\leq a\leq b\Leftrightarrow\sqrt a\leq\sqrt b

Si a\geq 0 : \sqrt a=b\Leftrightarrow \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            b\geq 0 \\
	            a=b^2 \\
	          \end{array}
	        \right

Si a\geq 0 : \sqrt a<b\Leftrightarrow \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            b\geq 0 \\
	            a<b^2 \\
	          \end{array}
	        \right

Si a\geq 0 : \sqrt a>b\Leftrightarrow b<0 ou \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            b\geq 0 \\
	            a>b^2 \\
	          \end{array}
	        \right

Valeurs absolues

|a|=\left\{
	          \begin{array}{ll}
	             a & \quad \mathrm{si}\quad a\geq 0 \\
	            -a & \quad \mathrm{si}\quad a<0 \\
	          \end{array}
	        \right

donc \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            -|a|\leq a\leq|a| \\
	            |a|=\mathrm Max(a,-a) \\
	          \end{array} et |0|=0

|a|\geq 0

|a|=\sqrt{a^2} pour tout a réel

|ab|=|a||b|

|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|} si b\neq 0

|a+b|\leq|a|+|b| mais en général|a+b|\neq|a|+|b|

0\leq a\leq b\Rightarrow |a|\leq |b| mais a\leq b\leq 0\Rightarrow |b|\leq |a|

Si b\geq 0 : \left\{
	          \begin{array}{ll}
	            |a|=b\Leftrightarrow a=b\quad\mathrm{ou}\quad a=-b \\
	            |a|<b\Leftrightarrow -b<a<b \\
	            |a|>b\Leftrightarrow a<-b\quad\mathrm{ou}\quad a>b \\
	          \end{array}
	        \right

Inverses

a<b \Leftrightarrow\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a} si et seulement si a et b sont de même signe


--CatherineLaidebeure 12 juillet 2010 à 18:34 (CEST)