Autres fonctions exponentielles

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Ce résumé est basé sur le programme de mathématiques de première année des classes préparatoires aux grandes écoles économiques et commerciales, voie scientifique (ECS1). Un résumé complet du programme de mathématiques ECS1 est proposé sur la Plate-forme SILLAGES.

En introduction à cet article on pourra consulter l'article Exponentielle.

Sommaire

Définition

La fonction exponentielle de base a>0 est la fonction définie par : \forall{x\in\mathbb R}\quad\exp_a(x)=a^x=e^{x\ln a}.

L’exponentielle est la fonction exponentielle de base e.

Propriété fondamentale

a^{x+y}=a^x\times a^y pour tous réels x et y.

Mêmes conséquences que pour l’exponentielle.

Dérivée

La fonction exponentielle de base a est dérivable sur \mathbb R : \forall{x\in\mathbb R}\quad(a^x)'=a^x\ln a.

Limites

\lim_{x\rightarrow -\infty}a^x=\left\{
	          \begin{array}{ll}
	            +\infty & \quad \mathrm{si}\quad a<1 \\
	            0 & \quad \mathrm{si}\quad a>1 \\
	          \end{array}
	        \right.

\lim_{x\rightarrow +\infty}a^x=\left\{
	          \begin{array}{ll}
	            0 & \quad \mathrm{si}\quad a<1 \\
	            +\infty & \quad \mathrm{si}\quad a>1 \\
	          \end{array}
	        \right.


Signe

Elle est positive : \forall{x\in\mathbb R}\quad a^x>0.

Courbes

Croissances comparées

\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{a^x}{x^\alpha}=+\infty\quad\mathrm{si}\quad a>1\quad\mathrm{et}\quad\alpha>0.


--CatherineLaidebeure 21 juillet 2010 à 09:59 (CEST)